Calcul de l'aire entre deux graphes

Aire entre le graphe et l’axe des $\mathbf{x}$

Grâce à l’intégrale on peut calculer l’aire entre un graphe et l’axe des $x$ sur un intervalle.

Si le graphe est au-dessus de l’axe des $x$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est positive.
Si le graphe est en dessous de l’axe des $x$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est négative.

Mathématiques; Calcul Intégral; 4e Collège; Calcul de l'aire entre deux graphes

Remarque : L’intégrale donne la différence des surfaces au-dessus et en dessous de l’axe des $x$ . La surface fermée est déterminée à partir des valeurs absolues des différentes parties de la surface.

Souvent on doit calculer l’aire entre un graphe et l’axe des $x$ sur un intervalle.

MÉTHODE

1.

Calcule les zéros

2.

Détermine les bornes des intégrales et note les intégrales :

Si les zéros se trouvent dans l’intervalle on sépare en plusieurs intervalles.

On écrit une intégrale distincte pour chaque intervalle.

Conseil : Si on ne sait pas si la fonction est au-dessus ou en dessous de l’axe sur un intervalle donné, prends les valeurs absolues des intégrales.

3.

Calcule les intégrales individuelles et additionne les résultats.

Schéma

Mathématiques; Calcul Intégral; 4e Collège; Calcul de l'aire entre deux graphes

Aire :

$A=\underbrace{\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}_{A_2}\underbrace{+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx}_{A_3}$

ou

$A=\underbrace{\left|\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|}_{A_2}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx\right|}_{A_3}$

Aire entre deux graphes

Souvent on doit calculer l’aire entre deux graphes sur un intervalle.

Pour calculer l’aire on doit former l’intégrale de la différence des fonctions.

$A=\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Si $f\left(x\right)$ est au-dessus de $g\left(x\right)$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est positive.
Si $f\left(x\right)$ est en dessous de $g\left(x\right)$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est négative.

Mathématiques; Calcul Intégral; 4e Collège; Calcul de l'aire entre deux graphes

MÉTHODE

1.

Calcule les points d’intersection des fonctions.

2.

Détermine les bornes des intégrales et note les intégrales :

S’il y a des points d’intersection dans l’intervalle on sépare en plusieurs intervalles. On écrit une intégrale distincte pour chaque intervalle.

Chaque intégrale a la forme : $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Conseil : Si on ne sait pas quelle fonction est au-dessus de l’autre sur un intervalle, utilise les valeurs absolues des intégrales.

3.

Calcule les intégrales individuelles et additionne les résultats.

Schéma

Mathématiques; Calcul Intégral; 4e Collège; Calcul de l'aire entre deux graphes

Aire :

$A=\underbrace{\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_2}$

ou

$A=\underbrace{\left|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right|}_{A_2}$