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Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation contient habituellement une ou plusieurs dérivées de la fonction recherchée.


Exemple 

f′(x)−x=x+3f^\prime\left(x\right)-x=x+3f′(x)−x=x+3​ est une équation différentielle.

La fonction f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3xf(x)=x2+3x​ est une solution de cette équation car f′(x)−x=2x+3− x=x+3.f^\prime\left(x\right)-x= 2x+3-\ x=x+3.f′(x)−x=2x+3− x=x+3.​.


Remarque : La solution trouvée n’est pas nécessairement unique. La fonction  g(x)=x2+3x+1\ g(x)=x^2+3x+1 g(x)=x2+3x+1​ est par exemple une autre solution.


Remarque : On écrit parfois f′f'f′​ à la place de f’(x)f’(x)f’(x)​. La lettre  est également souvent utilisée pour désigner la fonction inconnue dans une équation différentielle.


Condition initiale

Des conditions initiales sont parfois imposées afin de restreindre l’ensemble des solutions. 

Elles apparaissent le plus souvent sous la forme d’une valeur que la fonction (ou sa dérivée) doit prendre en 000​.


Exemple 

L’équation différentielle suivante a la condition initiale  g(0)=4\ g(0)=4 g(0)=4​ :


{g′(x)=2x+3g(0)=4\begin{cases}g'(x)=2x+3\\g(0)=4\end{cases}{g′(x)=2x+3g(0)=4​​​


La solution de cette équation doit respecter cette condition. La fonction f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3xf(x)=x2+3x​ n’est donc plus une solution car elle ne prend pas la valeur 444​ au point 000​ (f(0)=0f\left(0\right)=0f(0)=0​).


Types d’équations

Les équations différentielles peuvent être classifiées de plusieurs façons. 

Définition

Exemple

ORDRE

La plus haute dérivée présente dans l’équation détermine l’ordre de celle-ci.

y′′+2y=3y''+2y=3 y′′+2y=3​ est une équation d’ordre 2 car la plus haute dérivée est la deuxième dérivée.

HOMOGÈNE VS NON HOMOGÈNE

Une équation différentielle est homogène si tous ses termes contiennent un yyy​.

y′′+2y=0y''+2y=0y′′+2y=0​ est une équation homogène.

 y′′+2y=3x\ y''+2y=3x  y′′+2y=3x​ n’est pas une équation homogène.

LINÉAIRE VS 

NON LINÉAIRE

Si la fonction inconnue et ses dérivées n’apparaissent qu’en tant que terme multiplié par un coefficient (et pas dans une puissance), l’équation est linéaire.

y′′+2y=3y''+2y=3y′′+2y=3​ est une équation linéaire.

y′′+2y2=3y''+2y2=3y′′+2y2=3​ n’est pas linéaire car l’inconnue apparaît élevée au carré.





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Équations différentielles

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Équations différentielles

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quels sont les types d'équation différentielles ?

Les équations différentielles peuvent être classifiées de plusieurs façons : - Ordre : la plus haute dérivée présente dans l'équation détermine l'ordre de celle-ci. - Homogène vs. Non homogène : une équation différentielle est homogène si tous ses termes contiennent un y. - Linéaire vs. Non linéaire : si la fonction inconnue et ses dérivées n'apparaissent qu'en tant que terme multiplié par un coefficient (et pas dans une puissance), l'équation est linéaire.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction. L'équation contient habituellement une ou plusieurs dérivées de la fonction recherchée.

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