Équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation contient habituellement une ou plusieurs dérivées de la fonction recherchée.

Exemple 

$$f^\prime\left(x\right)-x=x+3$$​ est une équation différentielle.

La fonction $$f(x)=x^2+3x$$​ est une solution de cette équation car $$f^\prime\left(x\right)-x= 2x+3-\ x=x+3.$$​.

Remarque : La solution trouvée n’est pas nécessairement unique. La fonction $$\ g(x)=x^2+3x+1$$​ est par exemple une autre solution.

Remarque : On écrit parfois $$f'$$​ à la place de $$f’(x)$$​. La lettre  est également souvent utilisée pour désigner la fonction inconnue dans une équation différentielle.

Condition initiale

Des conditions initiales sont parfois imposées afin de restreindre l’ensemble des solutions. 

Elles apparaissent le plus souvent sous la forme d’une valeur que la fonction (ou sa dérivée) doit prendre en $$0$$​.

Exemple 

L’équation différentielle suivante a la condition initiale $$\ g(0)=4$$​ :

$$\begin{cases}g'(x)=2x+3\\g(0)=4\end{cases}$$​​

La solution de cette équation doit respecter cette condition. La fonction $$f(x)=x^2+3x$$​ n’est donc plus une solution car elle ne prend pas la valeur $$4$$​ au point $$0$$​ ($$f\left(0\right)=0$$​).

Types d’équations

Les équations différentielles peuvent être classifiées de plusieurs façons.