Pour la permutation	Pour la variation et combinaison
$n∶\ Nombre\ \ total\ d'\acute{e}l\acute{e}ments\\n_i∶Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ dans\ la\ cat\acute{e}gorie\ i$	$n∶\ Nombre\ d'\acute{e}l\acute{e}ments\ diff\acute{e}rents\\k∶\ Nombre\ d'\acute{e}l\acute{e}ments\ choisis/retir\acute{e}s$

Mathématiques; Combinatoire; 4e Collège; Formules de combinatoire

Remarque :

Dans le cas « Pas de sélection » tous les éléments sont utilisés. Dans le cas « Sélection » seulement une partie des éléments est utilisée.
Dans le cas « Échantillon ordonné » l’ordre des éléments combinés est pris en compte. Dans le cas « Échantillon non ordonné » il n’est pas pris en compte.
Dans le cas « Sans répétition », les éléments ne peuvent pas être utilisés plusieurs fois. Dans le cas « Avec répétition », ils peuvent se répéter.

Exemple 1 - Permutation sans répétition :

Dans une salle il y a 5 chaises de couleurs différentes.

Combien de manières différentes y a-t-il d’aligner toutes les chaises en ligne ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Non	Oui	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$n!$	$n=Nombre\ de\ couleurs=5$	$5!=\underline{120}$

Exemple 2 - Permutation avec répétition :

Dans une salle il y a six chaises rouges et trois chaises bleues.

Combien de possibilités différentes y a-t-il d’aligner toutes les chaises en ligne ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Non	Oui	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}$	$n=Nombres\ de\ chaises=9\\n_1=Nombre\ de\ chaises\ rouges=6\\n_2=Nombres\ de\ chaises\ bleues=3$	$\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}$

Exemple 3 - Variation sans répétition :

Dans une urne il y a dix boules de couleurs différentes. On tire cinq boules sans les replacer.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Oui	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=10\\k=Nombres\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Exemple 4 - Variation avec répétition :

Dans une urne il y a un nombre quelconque de boules noires et vertes. On tire trois boules.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Oui	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$n^k$	$n=Nombres\ de\ couleurs=2\\k=Nombres\ de\ boules\ tir\acute{e}es=3$	$2^3=\underline{8}$

Exemple 5 – Combinaison sans répétition :

Dans une urne il y a dix boules de couleurs différentes. On tire cinq boules sans les replacer.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Non	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n}{k}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=10\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Exemple 6 – Combinaison avec répétition :

Dans une urne il y a un nombre quelconque de boules noires et vertes. On tire cinq boules.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Non	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Nombre\ de\ couleurs=2\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment choisit-on quelle formule de combinatoire utiliser ?

On utilise une formule différente en fonction du type de sélection, de l'ordre de l'échantillon et du type de répétition : - Pour la permutation, n = le nombre total d'éléments et ni = le nombre d'éléments dans la catégorie i - Pour la variation et la combinaison, n = le nombre d'éléments différents et k = le nombre d'éléments choisis/retirés

Qu'est-ce qu'une formule de combinatoire ?

Les formules de combinatoires permettent de calculer directement le nombre de combinaisons possibles dans certaines situations.

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment choisit-on quelle formule de combinatoire utiliser ?

Qu'est-ce qu'une formule de combinatoire ?