Formules de combinatoire

Définition

Les formules de combinatoire permettent de calculer directement le nombre de combinaisons possibles dans certaines situations.

On utilise une formule différente en fonction du type de sélection, de l’ordre de l’échantillon et du type de répétition :

Pour la permutation	Pour la variation et combinaison
$n∶\ Nombre\ \ total\ d'\acute{e}l\acute{e}ments\\n_i∶Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ dans\ la\ cat\acute{e}gorie\ i$	$n∶\ Nombre\ d'\acute{e}l\acute{e}ments\ diff\acute{e}rents\\k∶\ Nombre\ d'\acute{e}l\acute{e}ments\ choisis/retir\acute{e}s$

Dans le cas « Pas de sélection » tous les éléments sont utilisés. Dans le cas « Sélection » seulement une partie des éléments est utilisée.
Dans le cas « Échantillon ordonné » l’ordre des éléments combinés est pris en compte. Dans le cas « Échantillon non ordonné » il n’est pas pris en compte.
Dans le cas « Sans répétition », les éléments ne peuvent pas être utilisés plusieurs fois. Dans le cas « Avec répétition », ils peuvent se répéter.

Exemple 1 - Permutation sans répétition :

Dans une salle il y a 5 chaises de couleurs différentes.

Combien de manières différentes y a-t-il d’aligner toutes les chaises en ligne ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Non	Oui	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$n!$	$n=Nombre\ de\ couleurs=5$	$5!=\underline{120}$

Exemple 2 - Permutation avec répétition :

Dans une salle il y a six chaises rouges et trois chaises bleues.

Combien de possibilités différentes y a-t-il d’aligner toutes les chaises en ligne ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Non	Oui	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}$	$n=Nombres\ de\ chaises=9\\n_1=Nombre\ de\ chaises\ rouges=6\\n_2=Nombres\ de\ chaises\ bleues=3$	$\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}$

Exemple 3 - Variation sans répétition :

Dans une urne il y a dix boules de couleurs différentes. On tire cinq boules sans les replacer.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Oui	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=10\\k=Nombres\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Exemple 4 - Variation avec répétition :

Dans une urne il y a un nombre quelconque de boules noires et vertes. On tire trois boules.

Combien y a-t-il de séquences possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Oui	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$n^k$	$n=Nombres\ de\ couleurs=2\\k=Nombres\ de\ boules\ tir\acute{e}es=3$	$2^3=\underline{8}$

Exemple 5 – Combinaison sans répétition :

Dans une urne il y a dix boules de couleurs différentes. On tire cinq boules sans les replacer.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Non	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n}{k}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=10\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Exemple 6 – Combinaison avec répétition :

Dans une urne il y a un nombre quelconque de boules noires et vertes. On tire cinq boules.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Non	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Nombre\ de\ couleurs=2\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$