Extrema locaux et globaux

Définition

Les extrema sont les maxima et minima locaux et globaux d’une fonction.

Extrema locaux

Un maximum local est un point où la fonction atteint la plus haute valeur de $y$ parmi les points aux alentours. Toutes les valeurs de $y$ juste avant ou juste après un maximum local sont plus petites.
Un minimum local est un point où la fonction atteint la plus basse valeur de $y$ parmi les points aux alentours. Toutes les valeurs de $y$ juste avant ou juste après un minimum local sont plus petites.

Remarque : Visuellement, un maximum local est le sommet d’une colline formée par le graphe de la fonction. Un minimum local est le fond d’un creux formé par le graphe de la fonction.

Extrema globaux

Les extrema globaux sont les points de la fonction dont les valeurs $y$ sont les plus grandes ou les plus petites parmi tous les points de la fonction. Les valeurs limites sont également observées ici.

Mathématiques; Étude de fonction; 4e Collège; Extrema locaux et globaux

Remarque : Visuellement, un extremum global est le sommet de la plus haute montagne ou le fond du creux le plus profond formé par le graphe de la fonction.

Déterminer les extrema locaux

La méthode suivante est utilisée pour déterminer les extrema locaux :

MÉTHODE

1.

Détermine la dérivée première et la dérivée seconde : $f'\left(x\right)$ et $f''\left(x\right)$ .

2.

« Condition nécessaire » :

Calcule les zéros $x_E$ de la dérivée première.

$f^\prime\left(x\right)=0$

Les valeurs $x$ des zéros sont des extrema potentiels.

3.

« Condition suffisante » :

Introduis les valeurs $x$ obtenues une par une dans la dérivée seconde et vérifie :

$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0$	Minimum
$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0$	Maximum
$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0$	Point col

4.

Calcule les valeurs de $y$ :

Introduire les extrema $x_E$ dans la fonction $f(x)$ , pour obtenir les valeurs de $y$ correspondantes.

Exemple

Détermine les extrema locaux de la fonction : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$

Dérivées :

Dérivée première : $f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$

Dérivée seconde : $\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$ 

Condition nécessaire : $f^\prime\left(x\right)=0$

$3x^2-6x-9=0$

Résous :

$x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3$ 

Condition suffisante : ${f\prime}^\prime\left(x\right)\neq0$

Pour $x_{E1}=-1,$ ${f\prime}^\prime\left(-1\right)=-12$  Maximum

Pour $x_{E2}=3,$ ${f\prime}^\prime\left(3\right)=12$  Minimum

Valeurs de $y$ correspondantes :

$f\left(-1\right)=32\\f\left(3\right)=0$ 

Extrema : $MAX(-1;32)$ , $MIN(3;0)$ 