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Vidéo Explicative

Résumés

Extrema locaux et globaux

Définition

Les extrema sont les maxima et minima locaux et globaux d’une fonction.


Extrema locaux

  • Un maximum local est un point où la fonction atteint la plus haute valeur de yyy​ parmi les points aux alentours. Toutes les valeurs de yyy​ juste avant ou juste après un maximum local sont plus petites. 
  • Un minimum local est un point où la fonction atteint la plus basse valeur de yyy​ parmi les points aux alentours. Toutes les valeurs de yyy​ juste avant ou juste après un minimum local sont plus petites. 

Remarque : Visuellement, un maximum local est le sommet d’une colline formée par le graphe de la fonction. Un minimum local est le fond d’un creux formé par le graphe de la fonction.


Extrema globaux

Les extrema globaux sont les points de la fonction dont les valeurs yyy​ sont les plus grandes ou les plus petites parmi tous les points de la fonction. Les valeurs limites sont également observées ici. 

Mathématiques; Étude de fonction; 4e Collège; Extrema locaux et globaux


Remarque : Visuellement, un extremum global est le sommet de la plus haute montagne ou le fond du creux le plus profond formé par le graphe de la fonction.


Déterminer les extrema locaux

La méthode suivante est utilisée pour déterminer les extrema locaux :


MÉTHODE

1.

Détermine la dérivée première et la dérivée seconde : f′(x)f'\left(x\right)f′(x)​ et f′′(x)f''\left(x\right)f′′(x)​.

2.

« Condition nécessaire » :

Calcule les zéros xEx_ExE​​ de la dérivée première.

f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​​

Les valeurs xxx​ des zéros sont des extrema potentiels.

3.

« Condition suffisante » :

Introduis les valeurs xxx​ obtenues une par une dans la dérivée seconde et vérifie :

​f′′(xE)>0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0f′′(xE​)>0​​

Minimum

​f′′(xE)<0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0f′′(xE​)<0​​

Maximum

​f′′(xE)=0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0f′′(xE​)=0​​

Point col

4.

Calcule les valeurs de yyy​ :

Introduire les extrema xEx_ExE​​ dans la fonction f(x)f(x)f(x)​, pour obtenir les valeurs de yyy​ correspondantes.


Exemple

Détermine les extrema locaux de la fonction : f(x)=x3−3x2−9x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27f(x)=x3−3x2−9x+27​


Dérivées :

Dérivée première : f′(x)=3x2−6x−9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9f′(x)=3x2−6x−9​

Dérivée seconde :  f′′(x)=6x−6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6 f′′(x)=6x−6​


Condition nécessaire : f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​

3x2−6x−9=03x^2-6x-9=03x2−6x−9=0​​

Résous :

xE1=−1,  xE2=3x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3xE1​=−1,  xE2​=3​​


Condition suffisante : f′′(x)≠0{f\prime}^\prime\left(x\right)\neq0f′′(x)=0​

Pour xE1=−1,x_{E1}=-1,xE1​=−1,​ f′′(−1)=−12{f\prime}^\prime\left(-1\right)=-12f′′(−1)=−12​  Maximum

Pour xE2=3,x_{E2}=3,xE2​=3,​ f′′(3)=12{f\prime}^\prime\left(3\right)=12f′′(3)=12​  Minimum


Valeurs de yyy​ correspondantes :

f(−1)=32f(3)=0f\left(-1\right)=32\\f\left(3\right)=0f(−1)=32f(3)=0​​


Extrema : MAX(−1;32)MAX(-1;32)MAX(−1;32)​, MIN(3;0)MIN(3;0)MIN(3;0)​



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Durée:
Extrema locaux et globaux

Unité 1

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Questions fréquemment posées sur les crédits

C'est quoi les extrema globaux ?

Les extrema globaux sont les points de la fonction dont les valeurs y sont les plus grandes ou les plus petites parmi tous les points de la fonction.

Quels sont les extrema locaux ?

Il existe le maximum local et le minimum local.

C'est quoi les extrema ?

Les extrema sont les maxima et minima locaux et globaux d’une fonction.

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