Les extrema sont les maxima et minima locaux et globaux d’une fonction.
Extrema locaux
Un maximum local est un point où la fonction atteint la plus haute valeur deyparmi les points aux alentours. Toutes les valeurs deyjuste avant ou juste après un maximum local sont plus petites.
Un minimum local est un point où la fonction atteint la plus basse valeur deyparmi les points aux alentours.Toutes les valeurs deyjuste avant ou juste après un minimum local sont plus petites.
Remarque : Visuellement, un maximum local est le sommet d’une colline formée par le graphe de la fonction. Un minimum local est le fond d’un creux formé par le graphe de la fonction.
Extrema globaux
Les extrema globaux sont les points de la fonction dont les valeurs y sont les plus grandes ou les plus petites parmi tous les points de la fonction. Les valeurs limites sont également observées ici.
Remarque : Visuellement, un extremum global est le sommet de la plus haute montagne ou le fond du creux le plus profond formé par le graphe de la fonction.
Déterminer les extrema locaux
La méthode suivante est utilisée pour déterminer les extrema locaux :
MÉTHODE
1.
Détermine la dérivée première et la dérivée seconde :f′(x)etf′′(x).
2.
« Condition nécessaire » :
Calcule les zérosxEde la dérivée première.
f′(x)=0
Les valeursxdes zéros sont des extrema potentiels.
3.
« Condition suffisante » :
Introduis les valeursxobtenues une par une dans la dérivée seconde et vérifie:
f′′(xE)>0
Minimum
f′′(xE)<0
Maximum
f′′(xE)=0
Point col
4.
Calcule les valeurs dey:
Introduire les extremaxEdans la fonctionf(x), pour obtenir les valeurs deycorrespondantes.
Exemple
Détermine les extrema locaux de la fonction :f(x)=x3−3x2−9x+27