Ensembles et tableaux de répartition

Ensembles

En probabilités, les résultats d’expériences aléatoires peuvent être interprétés comme des ensembles distincts ou composés. En cherchant la probabilité des ensembles, on peut déterminer la probabilité des résultats dans ces ensembles.

Notation

Notation et probabilités «$$P$$​» pour les opérations ensemblistes 

Cas spéciaux

Déterminer les complémentaires (les opposés) des ensembles $$A\cup B$$​ et $$\ A\cap B$$​ :

Tableau de répartition

Un tableau de répartition permet de calculer les probabilités combinées de deux événements. Dans un tableau de répartition, les probabilités des deux événements $$A$$​ et $$B$$​ ainsi que leurs complémentaires et leurs intersections sont présentées de manière plus claire.

Représentations

Le tableau de répartition peut contenir des probabilités ou des effectifs.

Dans les deux cas nous écrivons :

• Dans la première ligne : première issue. (A se produit ; A ne se produit pas.)
  
• Dans la première colonne : deuxième issue. (B se produit ; B ne se produit pas.)
  

Tableau des effectifs

• Dernière ligne : effectifs de la première issue.
  
• Dernière colonne : effectifs de la deuxième issue.
  
• Cases centrales : effectifs des combinaisons de $$A$$​ et $$B$$​.
  

Tableau de répartition avec les effectifs

Tableau des probabilités

• Dernière ligne : probabilités de la première issue : $$P\left(A\ se\ produit\right)$$​, $$P\left(A\ ne\ se\ produit\ pas\right)$$​.
  
• Dernière colonne : probabilités de la deuxième issue : $$P\left(B\ se\ produit\right)$$​, $$P\left(B\ ne\ se\ produit\ pas\right)$$​.
  
• Cases centrales : probabilités combinées de $$A$$​ et $$B$$​.
  

Tableau de distribution avec les probabilités

Exemple

Le glacier « étoile polaire » ne vend que des glaces au chocolat et à la vanille. On peut soit commander une boule dans une cône soit une boule dans une coupe.

Le tableau suivant indique ce que 100 clients ont commandé.

Calcule la probabilité que quelqu’un prenne une boule de chocolat ou une coupe.

Effectifs :

Calcul de la probabilité d’une coupe :

$$P\left(coupe\right)=\frac{65}{100}=0.65$$​​

Calcul de la probabilité de chocolat :

$$P\left(chocolat\right)=\frac{50}{100}=0.5$$​​

Calcul de la probabilité d’une glace au chocolat dans une coupe : 

$$P\left(chocolat\cap c o u p e\right)=\frac{35}{100}=0.35$$​​

Probabilités :

Probabilité de chocolat ou de coupe en utilisant le théorème de l’addition :

​$$P\left(chocolat\cup c o u p e\right)=P\left(chocolat\right)+P\left(coupe\right)-P\left(chocolat\cap c o u p e\right)=0.5+0.65-0.35=0.80$$​​

Additionnel : Puisqu’on vend seulement de la glace dans une coupe ou dans un cône, le cône est le complémentaire de la coupe et la probabilité d’un cône est :

$$P\left(c\hat{o}ne\right)=1-P\left(coupe\right)=1-0.65=0.35$$​​