Série de Taylor-Maclaurin

Définition

À partir d’une fonction $$f$$​  infiniment dérivable, on peut construire une série de fonctions, appelée « série de Taylor ». Cette série approxime les valeurs de $$f$$​ autour d’un point $$x_0.$$​

Remarque : Si ,$$x_0=0$$​ on l’appelle aussi « série de Maclaurin ».

Formule

Les termes de la série utilisent des dérivées. On dénote la $$n$$​-ème dérivée de $$f$$​ par « $$f^{(n)}$$​ ».

Les premiers termes de la série sont les suivants :

$$f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\ \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}{(x-x_0)}^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}{(x-x_0)}^3+\ \cdots$$​​

On écrit aussi cette somme (infinie) sous la forme plus compacte :

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n$$​​

 Série de Maclaurin de la fonction sinus 

Une série de Taylor importante est celle de la fonction sinus autour du point $$0$$​ :

Rappel : $${sin}^{(1)}(x)=cos(x)$$​ et $${cos}^{(1)}(x)=-sin(x)$$​

Application de la formule

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{sin}^{(n)}(0)}{n!}{(x-0)}^n\\=\ \sin{\left(0\right)}+{sin}^{\left(1\right)}\left(0\right)\left(x-0\right)+\ \frac{{sin}^{\left(2\right)}\left(0\right)}{2!}\left(x-0\right)^2+\frac{{sin}^{\left(3\right)}\left(0\right)}{3!}\left(x-0\right)^3+\frac{{sin}^{\left(4\right)}\left(0\right)}{4!}\left(x-0\right)^4\ +\cdots\\=sin(0)+cos(0)\cdot x+\ \frac{-sin(0)}{2}{\cdot x}^2+\frac{-cos(0)}{3!}{\cdot x}^3+\frac{sin(0)}{4!}{\cdot x}^4+\ \cdots\\=0+x-0{\cdot x}^2-\frac{1}{6}{\cdot x}^3+0{\cdot x}^4+\ \cdots=x-\frac{1}{6}{\cdot x}^3+\cdots$$​​

Approximation de la fonction sinus

La série trouvée permet d’obtenir des approximations de la fonction sinus pour des valeurs proches de $$x_0$$​ ($$x_0=0$$​ dans ce cas). Plus on calcule de termes de la série, plus l’approximation sera précise.

Exemple - Approximation de $$sin(0.3)$$ 

Avec les deux premiers termes :

$$sin(x)\approx x-\frac{1}{6}{\cdot x}^3+\cdots\\sin(0.3)\approx0.3-\frac{1}{6}{\cdot0.3}^3=0.2955$$​​

La vraie valeur de $$sin(0.3)$$​ est $$0.29552020666\cdots$$​ donc notre approximation est assez précise.