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Série de Taylor-Maclaurin

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Résumés

Série de Taylor-Maclaurin

Définition

À partir d’une fonction fff​  infiniment dérivable, on peut construire une série de fonctions, appelée « série de Taylor ». Cette série approxime les valeurs de fff​ autour d’un point x0.x_0.x0​.​


Remarque : Si ,x0=0x_0=0x0​=0​ on l’appelle aussi « série de Maclaurin ».



Formule

Les termes de la série utilisent des dérivées. On dénote la nnn​-ème dérivée de fff​ par « f(n)f^{(n)}f(n)​ ».

Les premiers termes de la série sont les suivants :

f(x0)+f(1)(x0)(x−x0)+ f(2)(x0)2!(x−x0)2+f(3)(x0)3!(x−x0)3+ ⋯f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\ \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}{(x-x_0)}^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}{(x-x_0)}^3+\ \cdotsf(x0​)+f(1)(x0​)(x−x0​)+ 2!f(2)(x0​)​(x−x0​)2+3!f(3)(x0​)​(x−x0​)3+ ⋯​​

On écrit aussi cette somme (infinie) sous la forme plus compacte :

∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^nn=0∑∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n​​



 Série de Maclaurin de la fonction sinus 

Une série de Taylor importante est celle de la fonction sinus autour du point 000​ :


Rappel : sin(1)(x)=cos(x){sin}^{(1)}(x)=cos(x)sin(1)(x)=cos(x)​ et cos(1)(x)=−sin(x){cos}^{(1)}(x)=-sin(x)cos(1)(x)=−sin(x)​


Application de la formule

∑n=0∞sin(n)(0)n!(x−0)n= sin⁡(0)+sin(1)(0)(x−0)+ sin(2)(0)2!(x−0)2+sin(3)(0)3!(x−0)3+sin(4)(0)4!(x−0)4 +⋯=sin(0)+cos(0)⋅x+ −sin(0)2⋅x2+−cos(0)3!⋅x3+sin(0)4!⋅x4+ ⋯=0+x−0⋅x2−16⋅x3+0⋅x4+ ⋯=x−16⋅x3+⋯\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{sin}^{(n)}(0)}{n!}{(x-0)}^n\\=\ \sin{\left(0\right)}+{sin}^{\left(1\right)}\left(0\right)\left(x-0\right)+\ \frac{{sin}^{\left(2\right)}\left(0\right)}{2!}\left(x-0\right)^2+\frac{{sin}^{\left(3\right)}\left(0\right)}{3!}\left(x-0\right)^3+\frac{{sin}^{\left(4\right)}\left(0\right)}{4!}\left(x-0\right)^4\ +\cdots\\=sin(0)+cos(0)\cdot x+\ \frac{-sin(0)}{2}{\cdot x}^2+\frac{-cos(0)}{3!}{\cdot x}^3+\frac{sin(0)}{4!}{\cdot x}^4+\ \cdots\\=0+x-0{\cdot x}^2-\frac{1}{6}{\cdot x}^3+0{\cdot x}^4+\ \cdots=x-\frac{1}{6}{\cdot x}^3+\cdotsn=0∑∞​n!sin(n)(0)​(x−0)n= sin(0)+sin(1)(0)(x−0)+ 2!sin(2)(0)​(x−0)2+3!sin(3)(0)​(x−0)3+4!sin(4)(0)​(x−0)4 +⋯=sin(0)+cos(0)⋅x+ 2−sin(0)​⋅x2+3!−cos(0)​⋅x3+4!sin(0)​⋅x4+ ⋯=0+x−0⋅x2−61​⋅x3+0⋅x4+ ⋯=x−61​⋅x3+⋯​​


Approximation de la fonction sinus

La série trouvée permet d’obtenir des approximations de la fonction sinus pour des valeurs proches de x0x_0x0​​ (x0=0x_0=0x0​=0​ dans ce cas). Plus on calcule de termes de la série, plus l’approximation sera précise.


Exemple - Approximation de sin(0.3)sin(0.3)sin(0.3) 


Avec les deux premiers termes :

sin(x)≈x−16⋅x3+⋯sin(0.3)≈0.3−16⋅0.33=0.2955sin(x)\approx x-\frac{1}{6}{\cdot x}^3+\cdots\\sin(0.3)\approx0.3-\frac{1}{6}{\cdot0.3}^3=0.2955sin(x)≈x−61​⋅x3+⋯sin(0.3)≈0.3−61​⋅0.33=0.2955​​


La vraie valeur de sin(0.3)sin(0.3)sin(0.3)​ est 0.29552020666⋯0.29552020666\cdots0.29552020666⋯​ donc notre approximation est assez précise.


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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
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Série de Taylor-Maclaurin

Unité 1

Série de Taylor-Maclaurin

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que l'approximation ?

La série trouvée permet d'obtenir des approximations de la fonction sinus pour des valeurs proches de x0 (x0 = 0 dans ce cas). Plus on calcule de termes de la série, plus l'approximation sera précise.

Qu'est-ce qu'une série de Taylor-Maclaurin ?

À partir d'une fonction f infiniment variable, on peut construire une série de fonctions, appelée "série de Taylor". Cette série approxime les valeurs de f autour d'un point x0. Remarque : si x0 = 0, on l'appelle aussi série de Maclaurin.

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