Combinatoire - Combinaison

Définition

Les formules de combinatoire permettent de calculer directement le nombre de combinaisons possibles dans certaines situations.

Formules de combinaison

Les formules de combinaison sont utilisées lorsque :

On n’utilise pas tous les éléments mais seulement une sélection.
Et on n’envisage pas l’ordre dans lequel on choisit ou arrange les éléments.

$n∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ diff\acute{e}rents\\k∶\ Nombre\ d\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ choisis/retir\acute{e}s$

Mathématiques; Combinatoire; 4e Collège; Combinatoire - Combinaison

Remarque : Dans le cas « Sans répétition », les éléments ne peuvent pas être utilisés plusieurs fois. Dans le cas « Avec répétition », ils peuvent se répéter.

Exemple 1 – Combinaison sans répétition :

Dans une urne il y a 10 boules de couleurs différentes. On tire 5 boules sans les replacer.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Non	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n}{k}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=10\\k=Nombres\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Exemple 2 – Combinaison avec répétition :

Dans une urne il y a un nombre quelconque de boules noires et vertes. On tire 5 boules.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Répétition
Oui	Non	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Nombre\ de\ couleurs=2\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$