Continuité et dérivabilité - Définition et relation
Continuité
Idée générale
Une fonction est continue si on peut dessiner son graphe «sans lever le crayon», c’est-à-dire qu’il ne possède pas de «sauts» ni de «trous».
Définition
Une fonction est continue en un point(x0;y0)si la limite en ce point existe. Autrement dit, si on s’approche de l’abscisse x0le long de la courbede la gauche ou de la droite, on s’approche aussi infiniment près de la valeur dey0.On dit qu’une fonction est continue si elle est continue en tous ses points.
Exemples de fonctions continues:
Fonctions quadratiques, rationnelles, polynomiales, racines, exponentielles, trigonométriques, logarithmes etc.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
Fonction continue
Fonction discontinue
La fonction n’a pas de sauts/trous.
Elle est continue.
La fonction a un saut et est donc discontinue en ce point.
Comment déterminer si une fonction est continue?
La fonction donnée est souvent définie sur des intervalles et est polynomiale (ou rationnelle, exponentielle…) donc continue sur chaque intervalle. Il suffit de vérifier la continuité de la fonction aux points d’intersection des intervalles.
MÉTHODE
1.
Détermine les points où la continuité doit être vérifiée: au début et à la fin des intervalles utilisés dans la définition de la fonction.
2.
Calcule la limite à gauche et la limite à droite en ces points.
3.
Compare les limites. Si les limites sont identiques la fonction est continue en ce point, si les limites sont différentes la fonction est discontinue en ce point.
La fonction est discontinue s’il existe au moins un point où la limite à gauche ne coïncide pas avec la limite à droite.
Exemple
Détermine si la fonction suivante est continue:
f(x)=⎩⎨⎧4x3x+4−x+8pourx<4pour4≤x<7pourx≥7
Les points à vérifier sont ceux auxquels deux intervalles se rejoignent.
Vérifie la continuité en 4:
Limite à gauche:
x→4x<4limf(x)=x→4x<4lim4x=16
Limite à droite:
x→4x>4limf(x)=x→4x>4lim(3x+4)=16
La fonction est continue en4.
Vérifie la continuité en7:
Limite à gauche:
x→7x<7limf(x)=x→7x<7lim(3x+4)=25
Limite à droite:
x→7x>7limf(x)=x→7x>7lim(−x+8)=1
La fonction est discontinue en7.
La fonctionfest donc discontinue.
Dérivabilité
Définition
Une fonction est dérivable en un point, si la dérivée en ce point existe et est finie. On peut vérifier la dérivabilité en utilisant une des limites suivantes:
Une fonction est dite «dérivable»lorsqu’elle est dérivable en tous points.
Exemple de fonctions dérivables
Fonctions quadratiques, polynomiales, exponentielles, sinus, cosinus, etc.
Relation avec la continuité
Quand une fonction est dérivable en un pointx0, elle est automatiquement continue enx0.
Une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.
Exemple
La fonction∣x∣est continue au point(0;0)mais n’est pas dérivable en ce point.
Comment déterminer si une fonction est dérivable?
Comme pour la continuité, il n’est pas possible de vérifier la dérivabilité d’une fonction en chaque point. On liste alors les points critiques à vérifier.
MÉTHODE
1.
Détermine les points où la dérivabilité doit être vérifiée : les points au début et à la fin des intervalles (si la fonction est définie par assemblage de fonctions dérivables) ainsi que les points où le graphe forme un «angle» ou une «pointe» (voir exemple ci-dessus).
2.
Calcule la dérivabilité à gauche et la dérivabilité à droite en ces points.
3.
Compare les dérivées. Si les dérivées sont identiques la fonction est dérivable en ce point, si elles diffèrent la fonction n’est pas dérivable en ce point.
Exemple
f(x)={x3−2x,x−3,pourx<0pourx≥0
La fonction est construite à partir de deux fonctions polynomiales. Elle est donc dérivable sur les deux intervallesx<0etx≥0.
Le seul point à vérifier est le0(jonction des intervalles).
Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Unité 1
Continuité et dérivabilité - Définition et relation
Test final
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Quand est-ce qu'une fonction est dérivable ?
Une fonction est dérivable en un point, si la dérivée en ce point existe et est finie. Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points.
Comment déterminer si une fonction est continue ?
La fonction donnée est souvent définie sur des intervalles et est polynomiale (ou rationnelle, exponentielle…) donc continue sur chaque intervalle. Il suffit de vérifier la continuité de la fonction aux points d’intersection des intervalles.
Quand est-ce qu'une fonction est continue ?
Une fonction est continue si on peut dessiner son graphe « sans lever le crayon », c’est-à-dire qu’il ne possède pas de « sauts » ni de « trous ».
