Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Continuité

Idée générale

Une fonction est continue si on peut dessiner son graphe « sans lever le crayon », c’est-à-dire qu’il ne possède pas de « sauts » ni de « trous ».

Définition

Une fonction est continue en un point $$(x_0\ ;\ y_0)$$​ si la limite en ce point existe. Autrement dit, si on s’approche de l’abscisse $$x_0$$​ le long de la courbe de la gauche ou de la droite, on s’approche aussi infiniment près de la valeur de $$y_0$$​. On dit qu’une fonction est continue si elle est continue en tous ses points.

Exemples de fonctions continues :

Fonctions quadratiques, rationnelles, polynomiales, racines, exponentielles, trigonométriques, logarithmes etc. 

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Fonction continue	Fonction discontinue
La fonction n’a pas de sauts/trous.  Elle est continue.	La fonction a un saut et est donc discontinue en ce point.

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Comment déterminer si une fonction est continue ?

La fonction donnée est souvent définie sur des intervalles et est polynomiale (ou rationnelle, exponentielle…) donc continue sur chaque intervalle. Il suffit de vérifier la continuité de la fonction aux points d’intersection des intervalles.

MÉTHODE

La fonction est discontinue s’il existe au moins un point où la limite à gauche ne coïncide pas avec la limite à droite.

Exemple

Détermine si la fonction suivante est continue :

$$f\left(x\right)=\left\{\ \begin{matrix}\ \ \ 4x\ \\3x+4\ \\-x+8\ \\\end{matrix}\begin{matrix}pour\ x<4\\\ \ \ \ \ \ \ \ pour\ 4\le x<7\\pour\ x\geq7\\\end{matrix}\right.$$​​

Les points à vérifier sont ceux auxquels deux intervalles se rejoignent.

Vérifie la continuité en $$4$$​ : 

La fonction est continue en $$4$$.

Vérifie la continuité en $$7$$​ :

La fonction est discontinue en $$7$$​. 

La fonction $$f$$​ est donc discontinue.

Dérivabilité

Définition

Une fonction est dérivable en un point, si la dérivée en ce point existe et est finie. On peut vérifier la dérivabilité en utilisant une des limites suivantes : 

$$\lim\limits_{a\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+a\right)-f(x_0)}{a}}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f(x_0)}{x-x_0}}$$​​

Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points.

Exemple de fonctions dérivables 

Fonctions quadratiques, polynomiales, exponentielles, sinus, cosinus, etc.

Relation avec la continuité

Quand une fonction est dérivable en un point $$x_0$$​, elle est automatiquement continue en $$x_0$$​.

Une fonction peut être continue en un point mais non dérivable en ce point.

Exemple

La fonction $$\left|x\right|$$​ est continue au point $$(0\ ;\ 0)$$​ mais n’est pas dérivable en ce point.

Comment déterminer si une fonction est dérivable ?

Comme pour la continuité, il n’est pas possible de vérifier la dérivabilité d’une fonction en chaque point. On liste alors les points critiques à vérifier.

MÉTHODE

Exemple

​$$f\left(x\right)=\begin{cases}x3-2x,&pour \ x<0\\x-3,&pour \ x≥0\end{cases}$$​​

La fonction est construite à partir de deux fonctions polynomiales. Elle est donc dérivable sur les deux intervalles $$x<0$$​ et $$x\geq0$$​. 

Le seul point à vérifier est le $$0$$​ (jonction des intervalles).

Vérifie la dérivabilité en $$0$$​ : 

La fonction n’est pas dérivable au point $$0$$​.