Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives de deux sphères

Les deux sphères considérées dans ce chapitre ont un centre et un rayon pour l’une, et un centre  et un rayon  pour l’autre.

La position relative est la distance entre les deux centres des sphères.

Trois cas

Déterminer la position relative de sphères

Déterminer la position relative de deux sphères.

MÉTHODE

Intersection de deux sphères

Déterminer l’équation du cercle d’intersection.

MÉTHODE

Remarque : Si les deux sphères ont le même rayon, le centre de l’intersection est situé au milieu des deux centres des sphères. On peut alors facilement calculer le rayon de l’intersection en utilisant Pythagore : $$r'^2=r^2-\left(\frac{|\overrightarrow{MN}|}{2}\right)$$

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Point de contact de deux sphères

Déterminer le point $$T$$​ où les deux sphères se touchent.

Formule : 

$$T=M+r\cdot\frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}$$​​

Remarque : Si les deux sphères ont le même rayon, le point de contact se trouve au milieu des centres des sphères.

Exemple

Trouve le point de contact des sphères $$\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=1$$​ et $$\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=4$$.

Solution :

Le centre de la première sphère est $$M(4\ ;\ 3\ ;\ 0)$$  et son rayon est  $$r=\sqrt1=1$$.

Le centre de la deuxième sphère est $$N(1\ ;\ 3\ ;\ 0)$$.

$$\overrightarrow{MN}=(1\ ;\ 3\ ;\ 0)-(4\ ;\ 3\ ;\ 0)=(-3\ ;\ 0\ ;\ 0)\\|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{{-3}^2+0^2+0^2}=3\\ \frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}=\frac{1}{3}(-3\ ;\ 0\ ;\ 0)=(-1\ ;\ 0\ ;\ 0)$$​​

Point de contact $$=M+r\cdot\frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}=(4\ ;\ 3\ ;\ 0)+1\cdot(-1\ ;\ 0\ ;\ 0)=(3\ ;\ 3\ ;\ 0).$$​

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