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Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

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Expériences aléatoires

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Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

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Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives de deux sphères

Les deux sphères considérées dans ce chapitre ont un centre et un rayon pour l’une, et un centre  et un rayon  pour l’autre.

La position relative est la distance entre les deux centres des sphères.


Trois cas

Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre deux sphères


Déterminer la position relative de sphères

Déterminer la position relative de deux sphères.


MÉTHODE

Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre deux sphères


Intersection de deux sphères

Déterminer l’équation du cercle d’intersection.


MÉTHODE

Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre deux sphères



Remarque : Si les deux sphères ont le même rayon, le centre de l’intersection est situé au milieu des deux centres des sphères. On peut alors facilement calculer le rayon de l’intersection en utilisant Pythagore : r′2=r2−(∣MN→∣2)r'^2=r^2-\left(\frac{|\overrightarrow{MN}|}{2}\right)r′2=r2−(2∣MN∣​)
Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre deux sphères

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Point de contact de deux sphères

Déterminer le point TTT​ où les deux sphères se touchent.


Formule : 

T=M+r⋅MN→∣MN→∣T=M+r\cdot\frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}T=M+r⋅∣MN∣MN​​​


Remarque : Si les deux sphères ont le même rayon, le point de contact se trouve au milieu des centres des sphères.


Exemple

Trouve le point de contact des sphères (x−4)2+(y−3)2+z2=1\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=1(x−4)2+(y−3)2+z2=1​ et (x−1)2+(y−3)2+z2=4\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=4(x−1)2+(y−3)2+z2=4.


Solution :

Le centre de la première sphère est M(4 ; 3 ; 0)M(4\ ;\ 3\ ;\ 0)M(4 ; 3 ; 0)  et son rayon est  r=1=1r=\sqrt1=1r=1​=1.

Le centre de la deuxième sphère est N(1 ; 3 ; 0)N(1\ ;\ 3\ ;\ 0)N(1 ; 3 ; 0).


MN→=(1 ; 3 ; 0)−(4 ; 3 ; 0)=(−3 ; 0 ; 0)∣MN→∣=−32+02+02=3MN→∣MN→∣=13(−3 ; 0 ; 0)=(−1 ; 0 ; 0)\overrightarrow{MN}=(1\ ;\ 3\ ;\ 0)-(4\ ;\ 3\ ;\ 0)=(-3\ ;\ 0\ ;\ 0)\\|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{{-3}^2+0^2+0^2}=3\\ \frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}=\frac{1}{3}(-3\ ;\ 0\ ;\ 0)=(-1\ ;\ 0\ ;\ 0)MN=(1 ; 3 ; 0)−(4 ; 3 ; 0)=(−3 ; 0 ; 0)∣MN∣=−32+02+02​=3∣MN∣MN​=31​(−3 ; 0 ; 0)=(−1 ; 0 ; 0)​​


Point de contact =M+r⋅MN→∣MN→∣=(4 ; 3 ; 0)+1⋅(−1 ; 0 ; 0)=(3 ; 3 ; 0).=M+r\cdot\frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}=(4\ ;\ 3\ ;\ 0)+1\cdot(-1\ ;\ 0\ ;\ 0)=(3\ ;\ 3\ ;\ 0).=M+r⋅∣MN∣MN​=(4 ; 3 ; 0)+1⋅(−1 ; 0 ; 0)=(3 ; 3 ; 0).​




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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Positions relatives entre deux sphères

Unité 1

Positions relatives entre deux sphères

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment puis-je déterminer la position relative entre deux sphères ?

Tu peux déterminer la position relative entre deux sphères en calculant la distance d entre les deux centres des sphères, puis en comparant la distance d avec la somme des rayons des sphères. Si [r-s] < d < r+s, alors les sphères se coupent. Si d = r+s ou d= [r-s], alors les sphères se touchent. Si d > r+s ou d < [r-s], alors les sphères ne se touchent pas.

Quelles sont les positions relatives possibles entre deux sphères ?

1. Point de contact : les sphères sont tangentes en un point 2. Section : les sphères se coupent (section) 3. Aucun point d'intersection : les sphères ne se croisent pas

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