Applications linéaires et compositions d'applications Définition Une application linéaire transforme un vecteur en un nouveau vecteur. L’application ou transformation peut être écrite comme la multiplication d’une matrice et d’un vecteur :
A ⋅ v → = v ′ → A\cdot\overrightarrow v=\overrightarrow{v'} A ⋅ v = v ′
A A A : matrice de l’application linéaire
v → \overrightarrow v v
v ′ → \overrightarrow {v'} v ′
( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ⋅ ( v 1 v 2 ) = ( a 11 ⋅ v 1 + a 12 ⋅ v 2 a 21 ⋅ v 1 + a 22 ⋅ v 2 ) \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2\\a_{21}\cdot v_1+a_{22} \cdot v_2\end{matrix}\right) ( a 11 a 21 a 12 a 22 ) ⋅ ( v 1 v 2 ) = ( a 11 ⋅ v 1 + a 12 ⋅ v 2 a 21 ⋅ v 1 + a 22 ⋅ v 2 )
Composition d’applications linéaires Lorsqu’on fait plusieurs transformations successives, on obtient une nouvelle application linéaire appelée la « composée ».
Matrice de la composée La matrice de l’application composée est donnée par le produit des matrices des applications linéaires successives dans l’ordre inverse :
A = A n ⋅ A n − 1 ⋅ … ⋅ A 2 ⋅ A 1 A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1 A = A n ⋅ A n − 1 ⋅ … ⋅ A 2 ⋅ A 1
Exemple – Le point subit une rotation de puis est placé fois plus loin de l’origine qu’il était au départ B ′ B' B ′
Rotation de 180 ° 180° 180° :
Allongement de facteur 3 3 3 :
Matrice de la composée :
( 3 0 0 3 ) ( − 1 0 0 − 1 ) = ( − 3 0 0 − 3 ) \left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right) ( 3 0 0 3 ) ( − 1 0 0 − 1 ) = ( − 3 0 0 − 3 )
Multiplie la matrice d’application avec le vecteur position :
( − 3 0 0 − 3 ) ⋅ ( 2 4 ) = ( − 6 − 12 ) \left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right) ( − 3 0 0 − 3 ) ⋅ ( 2 4 ) = ( − 6 − 12 )
Applications linéaires fréquentes Les applications suivantes possèdent toujours une matrice A A A correspondante.
Transformations TYPE
Exemple :
vecteur v → = ( 1 2 ) \overrightarrow v=(\frac12) v = ( 2 1 )
Exemple :
point B ( 3 ; 5 ) B(3;5) B ( 3 ; 5 )
ROTATION DE 90 ° 90° 90° Rotation de ... dans le...
sens des aiguilles d’une montre :
A = ( 0 1 − 1 0 ) A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right) A = ( 0 − 1 1 0 )
sens contraire des aiguilles d’une montre :
A ′ = ( 0 − 1 1 0 ) A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right) A ′ = ( 0 1 − 1 0 )
avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.
A ⋅ v → = ( 2 − 1 ) A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right) A ⋅ v = ( 2 − 1 )
A ′ ⋅ v → = ( − 2 1 ) A'\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right) A ′ ⋅ v = ( − 2 1 )
A ⋅ 0 B → = ( 5 − 3 ) A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right) A ⋅ 0 B = ( 5 − 3 )
A ′ ⋅ 0 B → = ( − 5 3 ) A'\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right) A ′ ⋅ 0 B = ( − 5 3 )
ROTATION DE 180 ° 180° 180° Rotation de 180 ° 180° 180°
A = ( − 1 0 0 − 1 ) A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right) A = ( − 1 0 0 − 1 )
avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.
A ⋅ v → = ( − 1 − 2 ) A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right) A ⋅ v = ( − 1 − 2 )
A ⋅ 0 B → = ( − 3 − 5 ) A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\-5\end{matrix}\right) A ⋅ 0 B = ( − 3 − 5 )
SYMÉTRIE HORIZONTALE Le vecteur est réfléchi horizontalement.
A = ( − 1 0 0 1 ) A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right) A = ( − 1 0 0 1 )
L’axe de symétrie est l’axe des y y y .
A ⋅ v → = ( − 1 2 ) A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right) A ⋅ v = ( − 1 2 )
A ⋅ 0 B → = ( − 3 5 ) A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right) A ⋅ 0 B = ( − 3 5 )
SYMÉTRIE VERTICALE Le vecteur est réfléchi verticalement.
A = ( 1 0 0 − 1 ) A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right) A = ( 1 0 0 − 1 )
L’axe de symétrie est l’axe des y y y .
A ⋅ v → = ( 1 − 2 ) A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right) A ⋅ v = ( 1 − 2 )
A ⋅ 0 B → = ( 3 − 5 ) A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right) A ⋅ 0 B = ( 3 − 5 )
ALLONGEMENT RACCOURCISSEMENT Le vecteur est all ongé ou raccourci d’un facteur d d d .
A = ( d 0 0 d ) A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right) A = ( d 0 0 d )
d = 2 A ⋅ v → = ( 2 4 ) d=2\\A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right) d = 2 A ⋅ v = ( 2 4 )
d = 2 A ⋅ 0 B → = ( 6 10 ) d=2\\A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right) d = 2 A ⋅ 0 B = ( 6 10 )
