Accueil

Mathématiques

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Applications linéaires et compositions d'applications

Vidéos explicatives

Résumés

Exercices

Choisir une leçon

Introduction

Équations différentielles

Équations homogènes

Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Résumés

Applications linéaires et compositions d'applications

Définition

Une application linéaire transforme un vecteur en un nouveau vecteur. L’application ou transformation peut être écrite comme la multiplication d’une matrice et d’un vecteur : 

​A⋅v→=v′→A\cdot\overrightarrow v=\overrightarrow{v'}A⋅v=v′​​

AAA​ : matrice de l’application linéaire

v→\overrightarrow vv​ : vecteur original

v′→\overrightarrow {v'}v′​ : nouveau vecteur transformé

​(a11a12a21a22)⋅(v1v2)=(a11⋅v1+a12⋅v2a21⋅v1+a22⋅v2)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2\\a_{21}\cdot v_1+a_{22} \cdot v_2\end{matrix}\right)(a11​a21​​a12​a22​​)⋅(v1​v2​​)=(a11​⋅v1​+a12​⋅v2​a21​⋅v1​+a22​⋅v2​​)​​


​

Composition d’applications linéaires

Lorsqu’on fait plusieurs transformations successives, on obtient une nouvelle application linéaire appelée la « composée ». 


Matrice de la composée

La matrice de l’application composée est donnée par le produit des matrices des applications linéaires successives dans l’ordre inverse :


A=An⋅An−1⋅…⋅A2⋅A1A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1A=An​⋅An−1​⋅…⋅A2​⋅A1​​​


​Exemple – Le point subit une rotation de puis est placé fois plus loin de l’origine qu’il était au départ B′B'B′​. 

Rotation de 180°180°180°​ :

Allongement de facteur 333​ :

Matrice de la composée :

(3003)(−100−1)=(−300−3)\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)(30​03​)(−10​0−1​)=(−30​0−3​)​​

Multiplie la matrice d’application avec le vecteur position :

(−300−3)⋅(24)=(−6−12)\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)(−30​0−3​)⋅(24​)=(−6−12​)​​



Applications linéaires fréquentes

Les applications suivantes possèdent toujours une matrice AAA​ correspondante. 


Transformations 

TYPE

Exemple :
vecteur v→=(12)\overrightarrow v=(\frac12)v=(21​)​​
Exemple :
point B(3;5)B(3;5)B(3;5)​​

ROTATION DE 90°90°90°​

Rotation de ... dans le...

sens des aiguilles d’une montre :

​A=(01−10)A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right)A=(0−1​10​)​​

sens contraire des aiguilles d’une montre :

​A′=(0−110)A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)A′=(01​−10​)​​

avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.

​A⋅v→=(2−1)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)A⋅v=(2−1​)​​

​A′⋅v→=(−21)A'\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)A′⋅v=(−21​)​​

​A⋅0B→=(5−3)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)A⋅0B=(5−3​)​​

​A′⋅0B→=(−53)A'\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)A′⋅0B=(−53​)​​


ROTATION DE 180°180°180°​

Rotation de 180°180°180°​

A=(−100−1)A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)A=(−10​0−1​)​​

avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.

​A⋅v→=(−1−2)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)A⋅v=(−1−2​)​​

​A⋅0B→=(−3−5)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\-5\end{matrix}\right)A⋅0B=(−3−5​)​​

​

SYMÉTRIE HORIZONTALE

​Le vecteur est réfléchi horizontalement.
​ A=(−1001)A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)A=(−10​01​)​​

L’axe de symétrie est l’axe des yyy​.
​A⋅v→=(−12)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)A⋅v=(−12​)​​
​A⋅0B→=(−35)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)A⋅0B=(−35​)​​

SYMÉTRIE VERTICALE

Le vecteur est réfléchi verticalement. 

A=(100−1)A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)A=(10​0−1​)​​

L’axe de symétrie est l’axe des yyy​.

​A⋅v→=(1−2)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)A⋅v=(1−2​)​​

​A⋅0B→=(3−5)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)A⋅0B=(3−5​)​​

ALLONGEMENT

RACCOURCISSEMENT

Le vecteur est allongé ou raccourci d’un facteur ddd​.

A=(d00d)A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right)A=(d0​0d​)​​

​d=2A⋅v→=(24)d=2\\A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)d=2A⋅v=(24​)​​

​d=2A⋅0B→=(610)d=2\\A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)d=2A⋅0B=(610​)​​

                         




Lire plus

Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:

Ceci est la leçon dans laquelle vous vous trouvez actuellement et l'objectif du parcours.

Applications linéaires et compositions d'applications

Unité 1

Applications linéaires et compositions d'applications

Test final

Testez la révision de toutes les unités pour réclamer une planète de récompense.

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelles sont les applications linéaires fréquentes ?

Les applications linéaires fréquentes sont : - Rotation de 90° - Rotation de 180° - Symétrie horizontale - Symétrie verticale - Allongement raccourcissement.

Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

Une application linéaire transforme un vecteur en un nouveau vecteur. L'application ou transformation peut être écrite comme la multiplication d'une matrice et d'un vecteur.

©2020 - 2024 evulpo AG

Beta