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Applications linéaires et compositions d'applications

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Applications linéaires et compositions d'applications

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Relations entre plans

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Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Résumés

Applications linéaires et compositions d'applications

Définition

Une application linéaire transforme un vecteur en un nouveau vecteur. L’application ou transformation peut être écrite comme la multiplication d’une matrice et d’un vecteur : 

​A⋅v→=v′→A\cdot\overrightarrow v=\overrightarrow{v'}A⋅v=v′​​

AAA​ : matrice de l’application linéaire

v→\overrightarrow vv​ : vecteur original

v′→\overrightarrow {v'}v′​ : nouveau vecteur transformé

​(a11a12a21a22)⋅(v1v2)=(a11⋅v1+a12⋅v2a21⋅v1+a22⋅v2)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2\\a_{21}\cdot v_1+a_{22} \cdot v_2\end{matrix}\right)(a11​a21​​a12​a22​​)⋅(v1​v2​​)=(a11​⋅v1​+a12​⋅v2​a21​⋅v1​+a22​⋅v2​​)​​


​

Composition d’applications linéaires

Lorsqu’on fait plusieurs transformations successives, on obtient une nouvelle application linéaire appelée la « composée ». 


Matrice de la composée

La matrice de l’application composée est donnée par le produit des matrices des applications linéaires successives dans l’ordre inverse :


A=An⋅An−1⋅…⋅A2⋅A1A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1A=An​⋅An−1​⋅…⋅A2​⋅A1​​​


​Exemple – Le point subit une rotation de puis est placé fois plus loin de l’origine qu’il était au départ B′B'B′​. 

Rotation de 180°180°180°​ :

Allongement de facteur 333​ :

Matrice de la composée :

(3003)(−100−1)=(−300−3)\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)(30​03​)(−10​0−1​)=(−30​0−3​)​​

Multiplie la matrice d’application avec le vecteur position :

(−300−3)⋅(24)=(−6−12)\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)(−30​0−3​)⋅(24​)=(−6−12​)​​



Applications linéaires fréquentes

Les applications suivantes possèdent toujours une matrice AAA​ correspondante. 


Transformations 

TYPE

Exemple :
vecteur v→=(12)\overrightarrow v=(\frac12)v=(21​)​​
Exemple :
point B(3;5)B(3;5)B(3;5)​​

ROTATION DE 90°90°90°​

Rotation de ... dans le...

sens des aiguilles d’une montre :

​A=(01−10)A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right)A=(0−1​10​)​​

sens contraire des aiguilles d’une montre :

​A′=(0−110)A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)A′=(01​−10​)​​

avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.

​A⋅v→=(2−1)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)A⋅v=(2−1​)​​

​A′⋅v→=(−21)A'\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)A′⋅v=(−21​)​​

​A⋅0B→=(5−3)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)A⋅0B=(5−3​)​​

​A′⋅0B→=(−53)A'\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)A′⋅0B=(−53​)​​


ROTATION DE 180°180°180°​

Rotation de 180°180°180°​

A=(−100−1)A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)A=(−10​0−1​)​​

avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.

​A⋅v→=(−1−2)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)A⋅v=(−1−2​)​​

​A⋅0B→=(−3−5)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\-5\end{matrix}\right)A⋅0B=(−3−5​)​​

​

SYMÉTRIE HORIZONTALE

​Le vecteur est réfléchi horizontalement.
​ A=(−1001)A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)A=(−10​01​)​​

L’axe de symétrie est l’axe des yyy​.
​A⋅v→=(−12)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)A⋅v=(−12​)​​
​A⋅0B→=(−35)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)A⋅0B=(−35​)​​

SYMÉTRIE VERTICALE

Le vecteur est réfléchi verticalement. 

A=(100−1)A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)A=(10​0−1​)​​

L’axe de symétrie est l’axe des yyy​.

​A⋅v→=(1−2)A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)A⋅v=(1−2​)​​

​A⋅0B→=(3−5)A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)A⋅0B=(3−5​)​​

ALLONGEMENT

RACCOURCISSEMENT

Le vecteur est allongé ou raccourci d’un facteur ddd​.

A=(d00d)A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right)A=(d0​0d​)​​

​d=2A⋅v→=(24)d=2\\A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)d=2A⋅v=(24​)​​

​d=2A⋅0B→=(610)d=2\\A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)d=2A⋅0B=(610​)​​

                         




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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:

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Applications linéaires et compositions d'applications

Unité 1

Applications linéaires et compositions d'applications

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelles sont les applications linéaires fréquentes ?

Les applications linéaires fréquentes sont : - Rotation de 90° - Rotation de 180° - Symétrie horizontale - Symétrie verticale - Allongement raccourcissement.

Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

Une application linéaire transforme un vecteur en un nouveau vecteur. L'application ou transformation peut être écrite comme la multiplication d'une matrice et d'un vecteur.

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