Applications linéaires et compositions d'applications

Définition

Une application linéaire transforme un vecteur en un nouveau vecteur. L’application ou transformation peut être écrite comme la multiplication d’une matrice et d’un vecteur :

$A\cdot\overrightarrow v=\overrightarrow{v'}$

$A$ : matrice de l’application linéaire

$\overrightarrow v$ : vecteur original

$\overrightarrow {v'}$ : nouveau vecteur transformé

$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2\\a_{21}\cdot v_1+a_{22} \cdot v_2\end{matrix}\right)$

Composition d’applications linéaires

Lorsqu’on fait plusieurs transformations successives, on obtient une nouvelle application linéaire appelée la « composée ».

Matrice de la composée

La matrice de l’application composée est donnée par le produit des matrices des applications linéaires successives dans l’ordre inverse :

$A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1$

Exemple – Le point subit une rotation de puis est placé fois plus loin de l’origine qu’il était au départ $B'$ .

Rotation de $180°$ :

Allongement de facteur $3$ :

Matrice de la composée :

$\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)$ 

Multiplie la matrice d’application avec le vecteur position :

$\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-12\end{matrix}\right)$ 

Applications linéaires fréquentes

Les applications suivantes possèdent toujours une matrice $A$ correspondante.

Transformations

TYPE

Exemple :
vecteur

\overrightarrow v=(\frac12)

Exemple :
point

B(3;5)

ROTATION DE $90°$

Rotation de ... dans le...

sens des aiguilles d’une montre :	$A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right)$
sens contraire des aiguilles d’une montre :	$A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)$

avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.

$A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$

$A'\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$

$A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$

$A'\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$

ROTATION DE $180°$

Rotation de $180°$

$A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)$

avec comme centre le point de départ du vecteur ou l’origine dans le cas des points.

$A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$

$A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\-5\end{matrix}\right)$

SYMÉTRIE HORIZONTALE

Le vecteur est réfléchi horizontalement.

A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)

L’axe de symétrie est l’axe des $y$ .

A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)

A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)

SYMÉTRIE VERTICALE

Le vecteur est réfléchi verticalement.

$A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)$

L’axe de symétrie est l’axe des $y$ .

$A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$

$A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$

ALLONGEMENT

RACCOURCISSEMENT

Le vecteur est allongé ou raccourci d’un facteur $d$ .

$A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right)$

$d=2\\A\cdot\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$

$d=2\\A\cdot \overrightarrow {0B}=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$