Positions relatives entre un cercle et une droite

Position relative d’un cercle et d’une droite

$$d$$​ est la distance de la droite au centre du cercle.

Trois cas

Déterminer la position relative d’un cercle et d’une droite

L’équation du cercle de centre $$M\left(x_M;y_M\right)$$​ est donnée sous la forme standard :

$$S∶\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2,$$​​

où $$r\in\mathbb{R}$$​ est le rayon.

La droite est donnée sous forme paramétrique $$g:\ Q:+s \cdot \overrightarrow u,$$ où $$Q$$​ est un point sur la droite, $$\overrightarrow u$$​ le vecteur de direction et $$s\in\mathbb{R}$$​ un paramètre.

Variante 1 : Avec une équation

Les points se trouvant sur la droite $$g$$​ sont de la forme suivante : 

$$(x_Q+s\cdot x_{u\ }\ ;\ y_Q+s\cdot y_{u\ }),$$​​

avec $$s\in\mathbb{R}$$​.

MÉTHODE

Exemple

Quelle est la position relative du cercle d’équation $$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=1$$​ et de la droite d’équation $$\ \ (-2\ ;\ 2)+s\cdot(1\ ;\ 0)$$​?

Solution :

Les points sur la droite sont de la forme $$(-2+s\cdot1\ ;\ 2+s\cdot0)=(-2+s\ ;\ 2)$$​.

Remplace ces valeurs dans l’équation de la sphère et résous l’équation : 

​$$\begin{matrix}\left(-2+s-2\right)^2+\left(2-1\right)^2 &= 1\\\left(s-4\right)^2+1 &= 1\\\left(s-4\right)^2 &= 0\\s &= 4\end{matrix}$$​​

Il y a une solution et donc un unique point d’intersection.

Ses coordonnées sont obtenues en substituant $$s=4:$$​

$$(-2+s;2)=(-2+4;2)=(2;2)$$​​

Variante 2 : Avec la distance

MÉTHODE

Droite tangente

Déterminer la tangente d’un cercle

Un cercle $$C$$​ et un point $$P$$​ sur le cercle sont donnés. On cherche une tangente à $$C$$​ passant par $$P.$$​

MÉTHODE