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Équations non homogènes

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Introduction

Équations différentielles

Équations homogènes

Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Équations non homogènes

Définition

Une équation différentielle est non homogène si un de ses termes ne contient pas l’inconnue .

Exemples

$y’’+2y=0$ est une équation homogène.

$\ y’’+2y=3x$ n’est pas une équation homogène.

Solution homogène et particulière

Pour résoudre une équation différentielle non homogène, on se sert du théorème suivant :

$Solution\ g\acute{e}n\acute{e}rale\ =\ solution\ homog\grave{e}ne\ +\ solution\ particuli\grave{e}re$

$y=y_h+y_p$

Solution homogène

Pour trouver la solution homogène, on enlève de l’équation les termes ne contenant pas de et on résout l’équation homogène ainsi obtenue.

Exemple

y'+2y=1

Ein Bild, das Text enthält. Automatisch generierte Beschreibung

y'+2y=0

On résout cette nouvelle équation :

$\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=-2y\ \ \ &|\ ∶y\\\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=-2 \ \ \ &|\ \ \cdot dx\\\frac{1}{y}\cdot dy=-2\ dx\\\int{\frac{1}{y}\cdot d y}=\int{-2\ dx}\\ln\left|y\right|=-2x+c\\y=e^{-2x+c}\\y=e^c\cdot e^{-2x}=\lambda e^{-2x}\\\end{matrix}$

À la dernière étape, on a défini $\lambda{\colon=}e^c$ pour alléger la notation. $\lambda$ est une constante à déterminer.

La solution homogène obtenue est la suivante :

$y_h=\lambda e^{-2x}$

Solution particulière

Une solution particulière est une solution de l’équation différentielle. Elle n’est en général pas unique. Il existe plusieurs méthodes permettant d’en trouver une.

La méthode la plus rapide est de trouver une « solution évidente », c’est-à-dire de deviner une solution en essayant plusieurs possibilités.

Exemple :

Trouve une solution particulière de l’équation suivante :

$y’=y-2x2+4x$ 

On peut remarquer que l’équation est respectée par la fonction $y(x)=\ {2x}^2$ . On obtient alors la solution particulière suivante :

$y_p={2x}^2$ 

Cette méthode ne marche malheureusement pas à tous les coups. On peut alternativement utiliser la méthode de la variation de la constante.

MÉTHODE DE LA VARIATION DE LA CONSTANTE

1.	Trouve la solution homogène $y_h$ .
2.	La solution $y_h$ contient une constante à déterminer, par exemple $\lambda$ . Considère cette constante comme une fonction de $x$ : remplace $\lambda$ par $\lambda(x)$ .
3.	Substitue cette solution homogène modifiée dans l’équation originale.
4.	Résous l’équation pour $\lambda(x).$ Les constantes d’intégration ( $+c$ ) peuvent être ignorées.
5.	Substitue cette fonction $\lambda$ dans la solution homogène.

Exemple

Trouve une solution particulière de l’équation $y'+2y=1$ .

La solution homogène a été trouvée dans un exemple précédent :

$y_h=\lambda e^{-2x}$ 

Remplace $\lambda$  par $\lambda(x)$  :

$y=\lambda(x)\cdot e^{-2x}$ 

Substitue ce $y$  dans l’équation $y'+2y=1$  :

$\left(\lambda(x)\cdot e^{-2x}\right)'+2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-2x}=1$ 

Résous pour $\lambda(x)$  :

$\lambda'(x)\cdot e^{-2x}-2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-2x}+2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-x}=1\\\lambda'(x)\cdot e^{-2x}=1\\\frac{\lambda'(x)}{e^{2x}}=1\\\lambda'(x)=e^{2x}\\\lambda(x)=\int{e^{2x}dx}={\frac{1}{2}e}^{2x}+c$

En ignorant la constante d’intégration, on obtient $\lambda(x)={\frac{1}{2}e}^{2x}$ .

Substitue cette fonction dans la solution homogène $y_h=\lambda e^{-2x}$  pour obtenir une solution particulière :

$y_p={\frac{1}{2}e}^{2x}\cdot e^{-2x}=\frac{1}{2}.$ 

Solution générale

Finalement, la solution générale d’une équation différentielle est la somme de la solution générale et d’une solution particulière :

$y=y_h+y_p$

Exemple

La solution générale de l’équation $y'+2y=1$  dans l’exemple précédent est donc :

$y=y_h+y_p=\lambda e^{-2x}+\frac{1}{2}.$ 

Lire plus

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Équations non homogènes

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce qu'une solution particulière ?

Une solution particulière est une solution de l'équation différentielle. Elle n'est en général pas unique.

Comment obtient-t-on la solution homogène ?

Pour trouver la solution homogène, on enlève de l'équation les termes ne contenant pas de y et on résout l'équation homogène ainsi obtenue.

Qu'est-ce qu'une équation non homogène ?

Une équation différentielles est non homogène si un de ses termes ne contient pas l'inconnue y.

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Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

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Une équation différentielle est non homogène si un de ses termes ne contient pas l’inconnue .

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$y’’+2y=0$ est une équation homogène.

$\ y’’+2y=3x$ n’est pas une équation homogène.

Solution homogène et particulière

Pour résoudre une équation différentielle non homogène, on se sert du théorème suivant :

$Solution\ g\acute{e}n\acute{e}rale\ =\ solution\ homog\grave{e}ne\ +\ solution\ particuli\grave{e}re$

$y=y_h+y_p$

Solution homogène

Pour trouver la solution homogène, on enlève de l’équation les termes ne contenant pas de et on résout l’équation homogène ainsi obtenue.

Exemple

y'+2y=1

y'+2y=0

On résout cette nouvelle équation :

À la dernière étape, on a défini $\lambda{\colon=}e^c$ pour alléger la notation. $\lambda$ est une constante à déterminer.

La solution homogène obtenue est la suivante :

$y_h=\lambda e^{-2x}$

Solution particulière

Une solution particulière est une solution de l’équation différentielle. Elle n’est en général pas unique. Il existe plusieurs méthodes permettant d’en trouver une.

La méthode la plus rapide est de trouver une « solution évidente », c’est-à-dire de deviner une solution en essayant plusieurs possibilités.

Exemple :

Trouve une solution particulière de l’équation suivante :

$y’=y-2x2+4x$ 

On peut remarquer que l’équation est respectée par la fonction $y(x)=\ {2x}^2$ . On obtient alors la solution particulière suivante :

$y_p={2x}^2$ 

Cette méthode ne marche malheureusement pas à tous les coups. On peut alternativement utiliser la méthode de la variation de la constante.

MÉTHODE DE LA VARIATION DE LA CONSTANTE

1.	Trouve la solution homogène $y_h$ .
2.	La solution $y_h$ contient une constante à déterminer, par exemple $\lambda$ . Considère cette constante comme une fonction de $x$ : remplace $\lambda$ par $\lambda(x)$ .
3.	Substitue cette solution homogène modifiée dans l’équation originale.
4.	Résous l’équation pour $\lambda(x).$ Les constantes d’intégration ( $+c$ ) peuvent être ignorées.
5.	Substitue cette fonction $\lambda$ dans la solution homogène.

Exemple

Trouve une solution particulière de l’équation $y'+2y=1$ .

La solution homogène a été trouvée dans un exemple précédent :

$y_h=\lambda e^{-2x}$ 

Remplace $\lambda$  par $\lambda(x)$  :

$y=\lambda(x)\cdot e^{-2x}$ 

Substitue ce $y$  dans l’équation $y'+2y=1$  :

$\left(\lambda(x)\cdot e^{-2x}\right)'+2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-2x}=1$ 

Résous pour $\lambda(x)$  :

En ignorant la constante d’intégration, on obtient $\lambda(x)={\frac{1}{2}e}^{2x}$ .

Substitue cette fonction dans la solution homogène $y_h=\lambda e^{-2x}$  pour obtenir une solution particulière :

$y_p={\frac{1}{2}e}^{2x}\cdot e^{-2x}=\frac{1}{2}.$ 

Solution générale

Finalement, la solution générale d’une équation différentielle est la somme de la solution générale et d’une solution particulière :

$y=y_h+y_p$

Exemple

La solution générale de l’équation $y'+2y=1$  dans l’exemple précédent est donc :

$y=y_h+y_p=\lambda e^{-2x}+\frac{1}{2}.$ 

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Qu'est-ce qu'une solution particulière ?

Une solution particulière est une solution de l'équation différentielle. Elle n'est en général pas unique.

Comment obtient-t-on la solution homogène ?

Pour trouver la solution homogène, on enlève de l'équation les termes ne contenant pas de y et on résout l'équation homogène ainsi obtenue.

Qu'est-ce qu'une équation non homogène ?

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