Équations non homogènes

Définition

Une équation différentielle est non homogène si un de ses termes ne contient pas l’inconnue .

Exemples

$$y’’+2y=0$$​ est une équation homogène.

$$\ y’’+2y=3x$$​ n’est pas une équation homogène.

Solution homogène et particulière

Pour résoudre une équation différentielle non homogène, on se sert du théorème suivant :

$$Solution\ g\acute{e}n\acute{e}rale\ =\ solution\ homog\grave{e}ne\ +\ solution\ particuli\grave{e}re$$​​

$$y=y_h+y_p$$​​

Solution homogène

Pour trouver la solution homogène, on enlève de l’équation les termes ne contenant pas de  et on résout l’équation homogène ainsi obtenue.

​

Exemple

​$$y'+2y=1$$​​

​$$y'+2y=0$$​​

On résout cette nouvelle équation :

$$\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=-2y\ \  \ &|\ ∶y\\\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=-2 \ \ \  &|\ \ \cdot dx\\\frac{1}{y}\cdot dy=-2\ dx\\\int{\frac{1}{y}\cdot d y}=\int{-2\ dx}\\ln\left|y\right|=-2x+c\\y=e^{-2x+c}\\y=e^c\cdot e^{-2x}=\lambda e^{-2x}\\\end{matrix}$$​​

À la dernière étape, on a défini $$\lambda{\colon=}e^c$$​ pour alléger la notation. $$\lambda$$​ est une constante à déterminer.

La solution homogène obtenue est la suivante : 

$$y_h=\lambda e^{-2x}$$​​

Solution particulière

Une solution particulière est une solution de l’équation différentielle. Elle n’est en général pas unique. Il existe plusieurs méthodes permettant d’en trouver une.

La méthode la plus rapide est de trouver une « solution évidente », c’est-à-dire de deviner une solution en essayant plusieurs possibilités.

Exemple : 

Trouve une solution particulière de l’équation suivante :

$$y’=y-2x2+4x$$​​

On peut remarquer que l’équation est respectée par la fonction $$y(x)=\ {2x}^2$$​. On obtient alors la solution particulière suivante :

$$y_p={2x}^2$$​​

Cette méthode ne marche malheureusement pas à tous les coups. On peut alternativement utiliser la méthode de la variation de la constante.

MÉTHODE DE LA VARIATION DE LA CONSTANTE

Exemple 

Trouve une solution particulière de l’équation $$y'+2y=1$$​.

La solution homogène a été trouvée dans un exemple précédent :

$$y_h=\lambda e^{-2x}$$​​

Remplace $$\lambda$$​ par $$\lambda(x)$$​ :

$$y=\lambda(x)\cdot e^{-2x}$$​​

Substitue ce $$y$$​ dans l’équation $$y'+2y=1$$​ :

$$\left(\lambda(x)\cdot e^{-2x}\right)'+2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-2x}=1$$​​

Résous pour $$\lambda(x)$$​ :

$$\lambda'(x)\cdot e^{-2x}-2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-2x}+2\cdot\lambda(x)\cdot e^{-x}=1\\\lambda'(x)\cdot e^{-2x}=1\\\frac{\lambda'(x)}{e^{2x}}=1\\\lambda'(x)=e^{2x}\\\lambda(x)=\int{e^{2x}dx}={\frac{1}{2}e}^{2x}+c$$​​

En ignorant la constante d’intégration, on obtient $$\lambda(x)={\frac{1}{2}e}^{2x}$$​.

Substitue cette fonction dans la solution homogène $$y_h=\lambda e^{-2x}$$​ pour obtenir une solution particulière :

$$y_p={\frac{1}{2}e}^{2x}\cdot e^{-2x}=\frac{1}{2}.$$​​

Solution générale

Finalement, la solution générale d’une équation différentielle est la somme de la solution générale et d’une solution particulière :

$$y=y_h+y_p$$​​

Exemple

La solution générale de l’équation $$y'+2y=1$$​ dans l’exemple précédent est donc : 

$$y=y_h+y_p=\lambda e^{-2x}+\frac{1}{2}.$$​​