Dérivée et taux de variation

Calcul différentiel

Définition

Le calcul différentiel est utilisé pour déterminer la pente (changement) d’un graphe d’une fonction en un point particulier $$x_0$$​. La pente d’un graphe en un point correspond à la pente d’une ligne tangente à ce point. La pente d’une fonction change généralement avec chaque valeur de $$x$$​ (sauf pour les fonctions linéaires). On appellera la fonction qui donne la pente d’une fonction $$f$$​ en chaque point $$x$$​ la dérivée de $$f$$​. Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive. Si elle est décroissante, la dérivée est négative.

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Calculer la dérivée

Pour déduire la pente d’une fonction en un point ou la dérivée d’une fonction, on utilise la différenciation et le taux de variation.

Former le taux de variation moyen (quotient des différences)

La pente d’une sécante est donnée par le taux de variation moyen (quotient des différences) : ON FORME UNE SÉCANTE À TRAVERS DEUX POINTS 1.       Le point où l'on cherche la pente. $$P_0\left(x_0|f\left(x_0\right)\right)$$​​ 2.      Un point un peu plus éloigné ($$+∆x$$​) sur la fonction. $$P_2x0+∆x | fx0+∆x$$​​ $$Pente\ de\ la\ sécante=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}$$​​

Former la dérivée première

Si on réduit la distance entre les valeurs de $$x$$​ (réduit $$∆x$$​) la pente de la sécante se rapproche de la pente de la ligne tangente au point $$x_0$$​.

On prend donc la limite $$\lim\limits_{∆x→0}$$​. Cette limite s’appelle la dérivée de la fonction $$f$$​.

$$\lim\limits_{∆x→0}\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{df(x_0)}{dx}=f'(x_0)$$​​

MÉTHODE

Former la dérivée et calculer la pente en un point

Exemple 

Détermine la dérivée de $$f\left(x\right)=3x^2+2$$​  à l’aide du taux de variation.

Calcule la pente au point $$x=2$$​.

Établis le taux de variation :

$$\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{3\cdot (x_0+∆x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{∆x}$$​​

Simplifie :

​$$=\frac{3(x_0^2+2x_0∆x+∆x^2)-3x_0^2}{∆x}=\frac{6x_0∆x+3∆x^2}{∆x}=6x_0+3∆x$$​​

Détermine la dérivée en $$x_0$$​ :

$$\lim\limits_{∆x→0}(6x_0+3∆x)=6x_0$$​​

Dérivée première pour tout $$x$$​ :

$$\underline{f^\prime\left(x\right)=6x}$$​​

Pente au point $$x=2$$​ : $$f' \left(2\right)=6\cdot 2 =\underline{12}$$​