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Vidéo Explicative

Résumés

Mathématiques; Calcul différentiel; 4e Collège; Dérivée et taux de variation
Dérivée et taux de variation

Calcul différentiel

Définition

Le calcul différentiel est utilisé pour déterminer la pente (changement) d’un graphe d’une fonction en un point particulier x0x_0x0​​.

La pente d’un graphe en un point correspond à la pente d’une ligne tangente à ce point.


La pente d’une fonction change généralement avec chaque valeur de xxx​ (sauf pour les fonctions linéaires).


On appellera la fonction qui donne la pente d’une fonction fff​ en chaque point xxx​ la dérivée de fff​.


Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive. Si elle est décroissante, la dérivée est négative. 
Mathématiques; Calcul différentiel; 4e Collège; Dérivée et taux de variation

​

Calculer la dérivée

Pour déduire la pente d’une fonction en un point ou la dérivée d’une fonction, on utilise la différenciation et le taux de variation.


Former le taux de variation moyen (quotient des différences)

La pente d’une sécante est donnée par le taux de variation moyen (quotient des différences) :


ON FORME UNE SÉCANTE À TRAVERS DEUX POINTS

1.       Le point où l'on cherche la pente.

P0(x0∣f(x0))P_0\left(x_0|f\left(x_0\right)\right)P0​(x0​∣f(x0​))​​

2.      Un point un peu plus éloigné (+∆x+∆x+∆x​) sur la fonction.

P2x0+∆x∣fx0+∆xP_2x0+∆x | fx0+∆xP2​x0+∆x∣fx0+∆x​​


Pente de la seˊcante=∆y∆x=f(x0+∆x)−f(x0)∆xPente\ de\ la\ sécante=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}Pente de la seˊcante=∆x∆y​=∆xf(x0​+∆x)−f(x0​)​​​
Mathématiques; Calcul différentiel; 4e Collège; Dérivée et taux de variation


Former la dérivée première

Si on réduit la distance entre les valeurs de xxx​ (réduit ∆x∆x∆x​) la pente de la sécante se rapproche de la pente de la ligne tangente au point x0x_0x0​​.


On prend donc la limite lim⁡∆x→0\lim\limits_{∆x→0} ∆x→0lim​​. Cette limite s’appelle la dérivée de la fonction fff​.


lim⁡∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=df(x0)dx=f′(x0)\lim\limits_{∆x→0}\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{df(x_0)}{dx}=f'(x_0)∆x→0lim​∆xf(x0​+∆x)−f(x0​)​=dxdf(x0​)​=f′(x0​)​​


MÉTHODE

Former la dérivée et calculer la pente en un point

1.

Calcule le taux de variation moyen :

f(x0+∆x)−f(x0)∆x\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}∆xf(x0​+∆x)−f(x0​)​​​

Remarque : Au lieu de ∆x∆x∆x​ on écrit souvent aussi h.

2.

Simplifie la fraction autant que possible. 

3.

Détermine la dérivée : Calcule la limite lim⁡∆x→0\lim\limits_{∆x→0}∆x→0lim​​ respectivement lim⁡h→0\lim\limits_{h\rightarrow0}h→0lim​​.

4.

Simplifie le terme autant que possible. 


Exemple 

Détermine la dérivée de f(x)=3x2+2f\left(x\right)=3x^2+2f(x)=3x2+2​  à l’aide du taux de variation.

Calcule la pente au point x=2x=2x=2​.


Établis le taux de variation :

f(x0+∆x)−f(x0)∆x=3⋅(x0+∆x)2+2)−(3x02+2)∆x\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{3\cdot (x_0+∆x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{∆x}∆xf(x0​+∆x)−f(x0​)​=∆x3⋅(x0​+∆x)2+2)−(3x02​+2)​​​

Simplifie :

​=3(x02+2x0∆x+∆x2)−3x02∆x=6x0∆x+3∆x2∆x=6x0+3∆x=\frac{3(x_0^2+2x_0∆x+∆x^2)-3x_0^2}{∆x}=\frac{6x_0∆x+3∆x^2}{∆x}=6x_0+3∆x=∆x3(x02​+2x0​∆x+∆x2)−3x02​​=∆x6x0​∆x+3∆x2​=6x0​+3∆x​​

Détermine la dérivée en x0x_0x0​​ :

lim⁡∆x→0(6x0+3∆x)=6x0\lim\limits_{∆x→0}(6x_0+3∆x)=6x_0∆x→0lim​(6x0​+3∆x)=6x0​​​


Dérivée première pour tout xxx​ :

f′(x)=6x‾\underline{f^\prime\left(x\right)=6x}f′(x)=6x​​​

Pente au point x=2x=2x=2​ : f′(2)=6⋅2=12‾f' \left(2\right)=6\cdot 2 =\underline{12}f′(2)=6⋅2=12​​



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Dérivée et taux de variation

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quand utiliser la différenciation et le taux de variation ?

Pour déduire la pente d’une fonction en un point ou la dérivée d’une fonction, on utilise la différenciation et le taux de variation.

C'est quoi un calcul différentiel ?

Le calcul différentiel est utilisé pour déterminer la pente (changement) d’un graphe d’une fonction en un point particulier x_0.

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