Combinatoire imbriquée – Problèmes 

Contexte

Souvent on ne peut pas résoudre un exercice directement avec l’une des formules de combinatoire. Les exercices contiennent plusieurs types de combinatoire imbriqués. Résous les problèmes un par un et combine-les à la fin.

Méthode

Exemple

Il y a 21 consonnes (C) et 5 voyelles (V). Combien de combinaisons à 5 lettres de la forme CVCVC y a-t-il si les consonnes peuvent être utilisées qu’une seul fois et les voyelles plusieurs fois ?

Problèmes combinatoires :

Problème 1 : Répartis les voyelles en 2 positions.

Avec sélection

Avec ordre

Avec répétition

 Variation avec répétition

$$n$$​ : nombre de voyelles $$n=5$$​

$$k$$​ : nombre de lettres $$k=2$$​

$$n^k=5^2=25$$​​

Problème 2 : Répartis les 21 consonnes en 3 positions.

Avec sélection

Avec ordre

Sans répétition

 Variation sans répétition

$$n$$​ : nombre de consonnes $$n=21$$​

$$k$$​ : nombre de lettres $$k=3$$​

$$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{21!}{\left(21-3\right)!}=7\ 980$$​​

Combinaisons :

$$25\cdot7\ 980=\underline{199\ 500}$$​​