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Déterminer une fonction polynomiale

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Résumés

​Déterminer une fonction polynomiale

Déterminer l’équation d’une fonction polynomiale

Dans ce type d’exercice, on doit utiliser des informations (conditions) sur une fonction polynomiale pour déterminer son équation.


Mathématiques; Étude de fonction; 4e Collège; Déterminer une fonction polynomiale
MÉTHODE

1.

Note la forme générale de la fonction selon le degré :

Degré 2

​y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c​​

Degré 3

​y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d​​

Degré 4

​y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=ax^4+bx^3+cx^2+dx+ey=ax4+bx3+cx2+dx+e​​

…

…

2.

Calcule les dérivées première et seconde.

3.

Note toutes les conditions :

Condition

Mise en pratique


Point P(xp;yP)P(x_p;y_P)P(xp​;yP​)​

Valeur de xPx_PxP​​ et yPy_PyP​​ dans fff​ :

​f(xp)=ypf\left(x_p\right)=y_pf(xp​)=yp​​​

Zéro en xNx_NxN​​

Valeur de xNx_NxN​​ dans fff​ :

​f(xN)=0f\left(x_N\right)=0f(xN​)=0​​

Ordonnée à l’origine y0y_0y0​​

Valeur de y0y_0y0​​ dans fff​ :

​f(0)=y0f\left(0\right)=y_0f(0)=y0​​​

Pente mmm​ en xAx_AxA​​​

Valeur de xAx_AxA​​ et mmm​ dans fff​ :

​f′(xA)=mf'\left(x_A\right)=mf′(xA​)=m​​

Extremum xEx_ExE​​

Valeur de xEx_ExE​​ dans f′f'f′​ :

​f′(xE)=0f'\left(x_E\right)=0f′(xE​)=0​​

Point d’inflexion xInfx_{Inf}xInf​​

Valeur de xInfx_{Inf}xInf​​ dans f′′f''f′′​ :

​f′′(xW)=0f''\left(x_W\right)=0f′′(xW​)=0​​

Point col

Valeur de xCx_CxC​​ dans f′f'f′​ :

Valeur de xCx_CxC​​ dans f′′f''f′′​ :

​f′(xC)=0f′′(xC)=0f'\left(x_C\right)=0\\f''\left(x_C\right)=0f′(xC​)=0f′′(xC​)=0​​


Remarque : Les extrema et les points d'inflexion sont également des points auxquels on peut évaluer la fonction.

Il faut autant de conditions que de paramètres inconnus (a, b, c,a,\ b,\ c,a, b, c, …).

4.

Construire un système d’équations : Combiner les conditions avec la fonction et les dérivées.

5.

Résoudre le système d'équations et écrire la fonction.


Exemple

Le graphe de la fonction polynomiale de quatrième degré a un extremum en x=−1x=-1x=−1 et un point d'inflexion au point W(0;−1)W(0;-1)W(0;−1). Elle coupe l’axe des xxx au point xN=1x_N=1xN​=1 et passe par le point P(−2;3)P(-2;3)P(−2;3). 

Détermine l’équation de la fonction polynomiale correspondante.


Fonction de degré 4 :

y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=ax^4+bx^3+cx^2+dx+ey=ax4+bx3+cx2+dx+e​​

Dérivées :

f′(x)=4ax3+3bx2+2cx+df′′(x)=12ax2+6bx+2cf'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\f''\left(x\right)=12ax^2+6bx+2cf′(x)=4ax3+3bx2+2cx+df′′(x)=12ax2+6bx+2c​​


Conditions :

1.

Extremum : xN=−1x_N=-1xN​=−1​

​f′(−1)=0f'\left(-1\right)=0f′(−1)=0​​
​0=4a(−1)3+3b(−1)2+2c(−1)+d0=−4a+3b−2c+d0=4a\left(-1\right)^3+3b\left(-1\right)^2+2c\left(-1\right)+d\\0=-4a+3b-2c+d0=4a(−1)3+3b(−1)2+2c(−1)+d0=−4a+3b−2c+d​​

2.

Point d’inflexion : xInf=0x_{Inf}=0xInf​=0​

​f′′(0)=0f''\left(0\right)=0f′′(0)=0​​
​0=12a(0)2+6b⋅(0)+2⋅c0=2c0=12a\left(0\right)^2+6b\cdot\left(0\right)+2\cdot c\\0=2c0=12a(0)2+6b⋅(0)+2⋅c0=2c​​

3.

Point d’inflexion : W(0;−1)W(0;-1)W(0;−1)​

​f(0)=−1f\left(0\right)=-1f(0)=−1​​
​−1=a⋅(0)4+b⋅(0)3+c⋅(0)2+d⋅(0)+e−1=e-1=a\cdot\left(0\right)^4+b\cdot\left(0\right)^3+c\cdot\left(0\right)^2+d\cdot\left(0\right)+e\\-1=e−1=a⋅(0)4+b⋅(0)3+c⋅(0)2+d⋅(0)+e−1=e​​

4.

Zéro : xN=1x_N=1xN​=1​

​f(1)=0f\left(1\right)=0f(1)=0​​
​0=a⋅(1)4+b⋅(1)3+c⋅(1)2+d⋅(1)+e0=a+b+c+d+e0=a\cdot\left(1\right)^4+b\cdot\left(1\right)^3+c\cdot\left(1\right)^2+d\cdot\left(1\right)+e\\0=a+b+c+d+e0=a⋅(1)4+b⋅(1)3+c⋅(1)2+d⋅(1)+e0=a+b+c+d+e​​

5.

Point : P(−2;3)P(-2;3)P(−2;3)​

​f(−2)=3f\left(-2\right)=3f(−2)=3​​
​3=a⋅(−2)4+b⋅(−2)3+c⋅(−2)2+d⋅(−2)+e3=16a−8b+4c−2d+e3=a\cdot{(-2)}^4+b\cdot{(-2)}^3+c\cdot{(-2)}^2+d\cdot(-2)+e\\3=16a-8b+4c-2d+e3=a⋅(−2)4+b⋅(−2)3+c⋅(−2)2+d⋅(−2)+e3=16a−8b+4c−2d+e​​

Résous le système d’équations (avec la calculatrice) …

0=−4a+3b−2c+d0=2c−1=e0=a+b+c+d+e3=16a−8b+4c−2d+e0=-4a+3b-2c+d\\0=2c\\-1=e\\0=a+b+c+d+e\\3=16a-8b+4c-2d+e0=−4a+3b−2c+d0=2c−1=e0=a+b+c+d+e3=16a−8b+4c−2d+e​​


a=1, b=2, c=0, d=−2, e=−1a=1,\ b=2,\ c=0,\ d=-2,\ e=-1a=1, b=2, c=0, d=−2, e=−1​​

Forme la fonction :

y=x4+2x3−2x−1y=x^4+2x^3-2x-1y=x4+2x3−2x−1​​






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Déterminer une fonction polynomiale

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Déterminer une fonction polynomiale

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment déterminer l'équation d'une fonction polynomiale ?

Note la forme générale de la fonction selon le degré. Calcule les dérivées première et seconde. Note toutes les conditions. Construire un système d’équations : Combiner les conditions avec la fonction et les dérivées. Résoudre le système d'équations et écrire la fonction.

Quelle est la forme générale d'une fonction de degré 4 ?

y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

C'est quoi une fonction polynomiale ?

Une fonction dont une ou plusieurs variables seront élevées à un exposant.

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