Condition	Mise en pratique
Point $P(x_p;y_P)$	Valeur de $x_P$ et $y_P$ dans $f$ :	$f\left(x_p\right)=y_p$
Zéro en $x_N$	Valeur de $x_N$ dans $f$ :	$f\left(x_N\right)=0$
Ordonnée à l’origine $y_0$	Valeur de $y_0$ dans $f$ :	$f\left(0\right)=y_0$
Pente $m$ en $x_A$	Valeur de $x_A$ et $m$ dans $f$ :	$f'\left(x_A\right)=m$
Extremum $x_E$	Valeur de $x_E$ dans $f'$ :	$f'\left(x_E\right)=0$
Point d’inflexion $x_{Inf}$	Valeur de $x_{Inf}$ dans $f''$ :	$f''\left(x_W\right)=0$
Point col	Valeur de $x_C$ dans $f'$ : Valeur de $x_C$ dans $f''$ :	$f'\left(x_C\right)=0\\f''\left(x_C\right)=0$

Remarque : Les extrema et les points d'inflexion sont également des points auxquels on peut évaluer la fonction.

Il faut autant de conditions que de paramètres inconnus ( $a,\ b,\ c,$ …).

Construire un système d’équations : Combiner les conditions avec la fonction et les dérivées.

Résoudre le système d'équations et écrire la fonction.

Exemple

Le graphe de la fonction polynomiale de quatrième degré a un extremum en $x=-1$ et un point d'inflexion au point $W(0;-1)$ . Elle coupe l’axe des $x$ au point $x_N=1$ et passe par le point $P(-2;3)$ .

Détermine l’équation de la fonction polynomiale correspondante.

Fonction de degré 4 :

$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Dérivées :

$f'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\f''\left(x\right)=12ax^2+6bx+2c$

Conditions :

1.	Extremum : $x_N=-1$	$f'\left(-1\right)=0$	$0=4a\left(-1\right)^3+3b\left(-1\right)^2+2c\left(-1\right)+d\\0=-4a+3b-2c+d$
2.	Point d’inflexion : $x_{Inf}=0$	$f''\left(0\right)=0$	$0=12a\left(0\right)^2+6b\cdot\left(0\right)+2\cdot c\\0=2c$
3.	Point d’inflexion : $W(0;-1)$	$f\left(0\right)=-1$	$-1=a\cdot\left(0\right)^4+b\cdot\left(0\right)^3+c\cdot\left(0\right)^2+d\cdot\left(0\right)+e\\-1=e$
4.	Zéro : $x_N=1$	$f\left(1\right)=0$	$0=a\cdot\left(1\right)^4+b\cdot\left(1\right)^3+c\cdot\left(1\right)^2+d\cdot\left(1\right)+e\\0=a+b+c+d+e$
5.	Point : $P(-2;3)$	$f\left(-2\right)=3$	$3=a\cdot{(-2)}^4+b\cdot{(-2)}^3+c\cdot{(-2)}^2+d\cdot(-2)+e\\3=16a-8b+4c-2d+e$

Résous le système d’équations (avec la calculatrice) …

$0=-4a+3b-2c+d\\0=2c\\-1=e\\0=a+b+c+d+e\\3=16a-8b+4c-2d+e$ 

$a=1,\ b=2,\ c=0,\ d=-2,\ e=-1$ 

Forme la fonction :

$y=x^4+2x^3-2x-1$ 

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Comment déterminer l'équation d'une fonction polynomiale ?

Note la forme générale de la fonction selon le degré. Calcule les dérivées première et seconde. Note toutes les conditions. Construire un système d’équations : Combiner les conditions avec la fonction et les dérivées. Résoudre le système d'équations et écrire la fonction.

Quelle est la forme générale d'une fonction de degré 4 ?

y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

C'est quoi une fonction polynomiale ?

Une fonction dont une ou plusieurs variables seront élevées à un exposant.

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Quelle est la forme générale d'une fonction de degré 4 ?

C'est quoi une fonction polynomiale ?

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