Déterminer une fonction polynomiale

Déterminer l’équation d’une fonction polynomiale

Dans ce type d’exercice, on doit utiliser des informations (conditions) sur une fonction polynomiale pour déterminer son équation.

MÉTHODE

1.

Note la forme générale de la fonction selon le degré :

Degré 2	$y=ax^2+bx+c$
Degré 3	$y=ax^3+bx^2+cx+d$
Degré 4	$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
…	…

2.

Calcule les dérivées première et seconde.

3.

Note toutes les conditions :

Condition	Mise en pratique
Point $P(x_p;y_P)$	Valeur de $x_P$ et $y_P$ dans $f$ :	$f\left(x_p\right)=y_p$
Zéro en $x_N$	Valeur de $x_N$ dans $f$ :	$f\left(x_N\right)=0$
Ordonnée à l’origine $y_0$	Valeur de $y_0$ dans $f$ :	$f\left(0\right)=y_0$
Pente $m$ en $x_A$	Valeur de $x_A$ et $m$ dans $f$ :	$f'\left(x_A\right)=m$
Extremum $x_E$	Valeur de $x_E$ dans $f'$ :	$f'\left(x_E\right)=0$
Point d’inflexion $x_{Inf}$	Valeur de $x_{Inf}$ dans $f''$ :	$f''\left(x_W\right)=0$
Point col	Valeur de $x_C$ dans $f'$ : Valeur de $x_C$ dans $f''$ :	$f'\left(x_C\right)=0\\f''\left(x_C\right)=0$

Remarque : Les extrema et les points d'inflexion sont également des points auxquels on peut évaluer la fonction.

Il faut autant de conditions que de paramètres inconnus ( $a,\ b,\ c,$ …).

4.

Construire un système d’équations : Combiner les conditions avec la fonction et les dérivées.

5.

Résoudre le système d'équations et écrire la fonction.

Exemple

Le graphe de la fonction polynomiale de quatrième degré a un extremum en $x=-1$ et un point d'inflexion au point $W(0;-1)$ . Elle coupe l’axe des $x$ au point $x_N=1$ et passe par le point $P(-2;3)$ .

Détermine l’équation de la fonction polynomiale correspondante.

Fonction de degré 4 :

$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Dérivées :

$f'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\f''\left(x\right)=12ax^2+6bx+2c$

Conditions :

1.	Extremum : $x_N=-1$	$f'\left(-1\right)=0$	$0=4a\left(-1\right)^3+3b\left(-1\right)^2+2c\left(-1\right)+d\\0=-4a+3b-2c+d$
2.	Point d’inflexion : $x_{Inf}=0$	$f''\left(0\right)=0$	$0=12a\left(0\right)^2+6b\cdot\left(0\right)+2\cdot c\\0=2c$
3.	Point d’inflexion : $W(0;-1)$	$f\left(0\right)=-1$	$-1=a\cdot\left(0\right)^4+b\cdot\left(0\right)^3+c\cdot\left(0\right)^2+d\cdot\left(0\right)+e\\-1=e$
4.	Zéro : $x_N=1$	$f\left(1\right)=0$	$0=a\cdot\left(1\right)^4+b\cdot\left(1\right)^3+c\cdot\left(1\right)^2+d\cdot\left(1\right)+e\\0=a+b+c+d+e$
5.	Point : $P(-2;3)$	$f\left(-2\right)=3$	$3=a\cdot{(-2)}^4+b\cdot{(-2)}^3+c\cdot{(-2)}^2+d\cdot(-2)+e\\3=16a-8b+4c-2d+e$

Résous le système d’équations (avec la calculatrice) …

$0=-4a+3b-2c+d\\0=2c\\-1=e\\0=a+b+c+d+e\\3=16a-8b+4c-2d+e$ 

$a=1,\ b=2,\ c=0,\ d=-2,\ e=-1$ 

Forme la fonction :

$y=x^4+2x^3-2x-1$ 