Diagrammes en arbre
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Résumés
Diagrammes en arbre
Utilisation
-
Les diagrammes en arbre peuvent servir à analyser ou visualiser des évènements aléatoires à plusieurs niveaux.
-
Les résultats n’ont pas besoin d’être équiprobables pour utiliser un diagramme en arbre.
Exemple – Une urne contient 5 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule, on la replace et on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité d’avoir tiré au moins une boule noire ?
Représentation
 | SOMMET | Résultat possible issu d’un événement aléatoire |
 | BRANCHE | Probabilité d’un événement |
Chaque arbre commence avec un sommet et se lit de haut en bas.
Dessiner un diagramme en arbre
MÉTHODE
| 1. | Commencer avec le sommet de départ (en haut de l’arbre). |
| 2. | En dessous, dessiner un sommet par résultat possible pour le premier événement aléatoire. |
| 3. | Relier par une branche le sommet de départ avec les sommets de l’étape 2. Écrire sur chaque branche la probabilité correspondante. |
| 4. | Sous chaque sommet de la dernière ligne, ajouter des sommets pour chaque résultat possible issu du deuxième événement aléatoire. |
| 5. | Relier les sommets avec des branches et écrire les probabilités correspondantes. |
| 6. | Répéter les étapes 4 et 5 avec le reste des événements aléatoires. |
| 7. | Pour connaître la probabilité d’un événement, multiplier les probabilités se trouvant sur le chemin correspondant, du sommet de départ (en haut de l’arbre) au sommet d’arrivée (en bas de l’arbre). |
Remarque : Si l’arbre contient trop de sommets et de branches, ne dessine que la partie du diagramme nécessaire à la résolution de l’exercice.
Exemple – Considère une urne avec 5 boules rayées, 3 boules grises et 2 boules blanches. Si on tire deux boules, quelle est la probabilité d’avoir tiré exactement une boule blanche et une boule grise (dans n’importe quel ordre) ?
Dessine le sommet de départ :
Pour les sommets suivants :
Dessine un sommet pour chaque résultat possible du premier tirage (pour chaque type de boule) :
Ajoute les probabilités :
- Probabilité de tirer une boule grise :
- Probabilité de tirer une boule blanche :
- Probabilité de tirer une boule rayée :
Deuxième « étage » :
-
Probabilité de tirer une boule grise après avoir tiré une boule grise à l’étape 1 :
-
Probabilité de tirer une boule blanche après avoir tiré une boule grise :
-
Probabilité de tirer une boule rayée après avoir tiré une boule grise :
-
Etc.
Remarque : Comme la première boule tirée n’est pas replacée dans l’urne, les probabilités sont modifiées : on retire 1 au numérateur de la couleur tirée à l’étape 1 et on retire 1 au dénominateur (il ne reste plus que 9 boules dans l’urne)
Probabilité des combinaisons :
Multiplie le long des chemins menant à un sommet final :
Probabilité de tirer exactement une boule blanche et une boule grise :
Deux chemins autorisés :
Branche qui passe par la boule grise lors de l’événement aléatoire 1 et la blanche pour l’événement 2
Branche qui passe par la boule blanche, puis la grise.
Probabilité de chacun de ces événements combinés :
Probabilité de tirer une boule blanche et une grise (dans n’importe quel ordre) :
Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment lire un diagramme en arbre ?
Chaque arbre commence avec un sommet et se lit de haut en bas.
Pourquoi faire un diagramme en arbre ?
Les diagrammes en arbre peuvent servir à analyser ou visualiser des évènements aléatoires à plusieurs niveaux.