Diagrammes en arbre

Utilisation

Les diagrammes en arbre peuvent servir à analyser ou visualiser des évènements aléatoires à plusieurs niveaux.
Les résultats n’ont pas besoin d’être équiprobables pour utiliser un diagramme en arbre.

Exemple – Une urne contient 5 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule, on la replace et on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité d’avoir tiré au moins une boule noire ?

Représentation

	SOMMET	Résultat possible issu d’un événement aléatoire
	BRANCHE	Probabilité d’un événement

Chaque arbre commence avec un sommet et se lit de haut en bas.

Dessiner un diagramme en arbre

MÉTHODE

1.	Commencer avec le sommet de départ (en haut de l’arbre).
2.	En dessous, dessiner un sommet par résultat possible pour le premier événement aléatoire.
3.	Relier par une branche le sommet de départ avec les sommets de l’étape 2. Écrire sur chaque branche la probabilité correspondante.
4.	Sous chaque sommet de la dernière ligne, ajouter des sommets pour chaque résultat possible issu du deuxième événement aléatoire.
5.	Relier les sommets avec des branches et écrire les probabilités correspondantes.
6.	Répéter les étapes 4 et 5 avec le reste des événements aléatoires.
7.	Pour connaître la probabilité d’un événement, multiplier les probabilités se trouvant sur le chemin correspondant, du sommet de départ (en haut de l’arbre) au sommet d’arrivée (en bas de l’arbre).

Remarque : Si l’arbre contient trop de sommets et de branches, ne dessine que la partie du diagramme nécessaire à la résolution de l’exercice.

Exemple – Considère une urne avec 5 boules rayées, 3 boules grises et 2 boules blanches. Si on tire deux boules, quelle est la probabilité d’avoir tiré exactement une boule blanche et une boule grise (dans n’importe quel ordre) ?

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Diagrammes en arbre

Dessine le sommet de départ :

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Diagrammes en arbre

Pour les sommets suivants :

Dessine un sommet pour chaque résultat possible du premier tirage (pour chaque type de boule) :

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Diagrammes en arbre

Ajoute les probabilités :

Probabilité de tirer une boule grise : $\frac{3}{10}$ 
Probabilité de tirer une boule blanche : $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ 
Probabilité de tirer une boule rayée : $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Diagrammes en arbre

Deuxième « étage » :

Probabilité de tirer une boule grise après avoir tiré une boule grise à l’étape 1 : $\frac{2}{9}$ 
Probabilité de tirer une boule blanche après avoir tiré une boule grise : $\frac{2}{9}$ 
Probabilité de tirer une boule rayée après avoir tiré une boule grise : $\frac{5}{9}$ 
Etc.

Remarque : Comme la première boule tirée n’est pas replacée dans l’urne, les probabilités sont modifiées : on retire 1 au numérateur de la couleur tirée à l’étape 1 et on retire 1 au dénominateur (il ne reste plus que 9 boules dans l’urne)

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Diagrammes en arbre

Probabilité des combinaisons :

Multiplie le long des chemins menant à un sommet final :

Mathématiques; Combinatoire; 11e Harmos / CO; Diagrammes en arbre

Probabilité de tirer exactement une boule blanche et une boule grise :

Deux chemins autorisés :

Branche qui passe par la boule grise lors de l’événement aléatoire 1 et la blanche pour l’événement 2

Branche qui passe par la boule blanche, puis la grise.

Probabilité de chacun de ces événements combinés : $\frac{1}{15}$ 

Probabilité de tirer une boule blanche et une grise (dans n’importe quel ordre) :

$\frac{1}{15}\ +\ \frac{1}{15}=\frac{2}{15}$ 