Diagrammes en arbre

Utilisation

• Les diagrammes en arbre peuvent servir à analyser ou visualiser des évènements aléatoires à plusieurs niveaux.
  
• Les résultats n’ont pas besoin d’être équiprobables pour utiliser un diagramme en arbre.
  

Exemple – Une urne contient 5 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule, on la replace et on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité d’avoir tiré au moins une boule noire ? 

Représentation

	SOMMET	Résultat possible issu d’un événement aléatoire
	BRANCHE	Probabilité d’un événement

Chaque arbre commence avec un sommet et se lit de haut en bas.

Dessiner un diagramme en arbre

MÉTHODE

Remarque : Si l’arbre contient trop de sommets et de branches, ne dessine que la partie du diagramme nécessaire à la résolution de l’exercice.

Exemple – Considère une urne avec 5 boules rayées, 3 boules grises et 2 boules blanches. Si on tire deux boules, quelle est la probabilité d’avoir tiré exactement une boule blanche et une boule grise (dans n’importe quel ordre) ?

Dessine le sommet de départ :

Pour les sommets suivants :

Dessine un sommet pour chaque résultat possible du premier tirage (pour chaque type de boule) :

Ajoute les probabilités :

• Probabilité de tirer une boule grise : $$\frac{3}{10}$$​
• Probabilité de tirer une boule blanche : $$\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$​
• Probabilité de tirer une boule rayée : $$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$​

Deuxième « étage » :

• Probabilité de tirer une boule grise après avoir tiré une boule grise à l’étape 1 : $$\frac{2}{9}$$​
  
• Probabilité de tirer une boule blanche après avoir tiré une boule grise : $$\frac{2}{9}$$​
  
• Probabilité de tirer une boule rayée après avoir tiré une boule grise : $$\frac{5}{9}$$​
  
• Etc.
  

Remarque : Comme la première boule tirée n’est pas replacée dans l’urne, les probabilités sont modifiées : on retire 1 au numérateur de la couleur tirée à l’étape 1 et on retire 1 au dénominateur (il ne reste plus que 9 boules dans l’urne)

Probabilité des combinaisons :

Multiplie le long des chemins menant à un sommet final :

Probabilité de tirer exactement une boule blanche et une boule grise :

Deux chemins autorisés :

Branche qui passe par la boule grise lors de l’événement aléatoire 1 et la blanche pour l’événement 2

Branche qui passe par la boule blanche, puis la grise. 

Probabilité de chacun de ces événements combinés : $$\frac{1}{15}$$​

Probabilité de tirer une boule blanche et une grise (dans n’importe quel ordre) : 

$$\frac{1}{15}\ +\ \frac{1}{15}=\frac{2}{15}$$​​

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