Limites et continuité d'une fonction

Limites

On peut utiliser les limites pour décrire le comportement d’une fonction par rapport à

• L’infini positif (+) et négatif (–) ;
• Des asymptotes verticales.
  

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Limites et asymptotes de fonctions de base

Remarque : « n.a. » signifie que la fonction n'est pas applicable, car elle n’est pas définie pour des valeurs négatives de $$x$$​. 

Limites de fonctions générales

La plupart des fonctions sont composées de différentes fonctions de base. Les valeurs limites respectives dépendent de leur interaction.

Déterminer les limites

MÉTHODE

Exemple

Limites de

$$f\left(x\right)=x^4+1$$​​

Domaine de définition :

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

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Dominance des fonctions de base

Si l’on obtient les affirmations suivantes, on doit vérifier la dominance des fonctions afin de déterminer la limite commune :

$$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\ ou\ \frac{0}{0}\ ou\ \pm\infty\cdot0\ ou\ \infty-\infty$$​​

La croissance la plus rapide vers $$\pm\infty$$​ :

(du plus lent au plus rapide)

Remarque 1 : $$n$$​ est entier et positif ($$n\in\mathbb{N}$$​ )

Remarque 2 : ici $$a$$​ est supérieur à 1 ($$a>1$$​ )

Exemples

LIMITES DE FONCTIONS GÉNÉRALES

Exemples

Limite de :

$$f\left(x\right)=\frac{e^x}{x-2}$$​​

Domaine de définition :

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}/ \{2\}$$​​

Limites à vérifier : 

​

Conseils sur les limites des fonctions rationnelles

Asymptotes et singularités

Exemple

​$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\cdot3}{\left(x-1\right)\cdot\left(x-2\right)}$$​​

Zéros du dénominateur : $$x=1$$​ et $$x=2$$​

Types de zéro :

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\cdot3}{\left(x-1\right)\cdot\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x-1\right)}$$​​

$$x=1$$​: On ne peut pas réduire cette parenthèse.  Asymptote horizontale

$$x=2$$​: On peut réduire cette parenthèse  Singularité

Limites à l’infini : $$\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}{\left(\ldots\right)}=0$$​  Asymptote horizontale

Limites vers $$+\infty$$​ et $$-\infty$$​

MÉTHODE 

Exemple

​$$f\left(x\right)=\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}$$​​

Limite vers $$-\infty$$​ :

$$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{x^2}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+0}{3+0+0}\cdot\left(0^-\right)=0^-$$​​

Limite vers $$+\infty\$$​ :

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{x^2}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+0}{3+0+0}\cdot0^+=0^+$$​​

Continuité

Définition

Une fonction est continue en un point si la limite en ce point existe. Une fonction continue peut alors être dessinée « sans lever le stylo ». Beaucoup de fonctions de base sont continues : fonctions quadratiques, polynomiales, racines, exponentielles, trigonométriques, logarithmes etc. 

Méthode pour les exercices types

On s’intéresse souvent à des fonctions affines par intervalles. Sur chaque intervalle, la fonction est affine donc continue et le but et de déterminer si la fonction est continue en tous les points. Il suffit de vérifier la continuité aux points d’intersection. 

Exemple

​$$f\left(x\right)=\left\{\ \begin{matrix}\ \ \ 4x\ \\3x+4\ \\-x+8\ \\\end{matrix}\begin{matrix}pour\ x<4\\\ \ \ \ \ \ \ \ pour\ 4\le x<7\\pour\ x\geq7\\\end{matrix}\right.$$​​

Détermine les points d’intersection $$:\ x=4$$​ et $$x=7$$​.

Vérifie la continuité en 4 : 

La fonction est continue en 4.

Vérifier la continuité en 7 :

La fonction est discontinue en 7. 

La fonction est donc continue sur $$]-∞;7[$$​ et sur $$[7;+\infty[$$​ mais discontinue sur $$\mathbb{R}$$​.