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Équations de cercles et sphères

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Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

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Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

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Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Équations de cercles et sphères

2D : Cercles

Forme standard (forme normale)

C∶   (x−xM)2+(y−yM)2=r2C∶\ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2C∶   (x−xM​)2+(y−yM​)2=r2​​


Centre M(xM;yM)M(x_M;y_M)M(xM​;yM​)​ et rayon rrr​.


Remarque : Les cercles décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Mathématiques; Cercles et sphères; 2e Collège; Équations de cercles et sphères


Exemple

Cercle avec centre M(2;1)M(2;1)M(2;1)​ et rayon r=2r=2r=2​ :

C∶    (x−2)2+(y−1)2=4C∶\ \ \ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4C∶    (x−2)2+(y−1)2=4​​


3D : Sphères

Forme standard (forme normale)

S∶    (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2=r2S∶\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2S∶    (x−xM​)2+(y−yM​)2+(z−zM​)2=r2​​


Centre M(xM;yM;zM)M(x_M;y_M;z_M)M(xM​;yM​;zM​)​ et rayon rrr​.


Remarque : Les sphères décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Mathématiques; Cercles et sphères; 2e Collège; Équations de cercles et sphères


Exemple

Sphère avec centre M(1;−2;4)M(1;-2;4)M(1;−2;4)​ et rayon r=3r=3r=3​ :

S∶    (x−1)2+(y+2)2+(z−4)2=9S∶\ \ \ \ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9S∶    (x−1)2+(y+2)2+(z−4)2=9​​


Trouver les équations du cercle et de la sphère

Équation du cercle

Le centre MMM​ et un point PPP​ sur le cercle sont donnés.


MÉTHODE

1.

Calcule le rayon rrr​ : distance de MMM​ à PPP​.

2.

Écris l’équation du cercle pour les valeurs de rrr​ et MMM​.


Exemple

Donnés : M(3;2)M\left(3;2\right)M(3;2)​ et P(0;−2)P\left(0;-2\right)P(0;−2)​

Rayon : r=∣MP→∣=5r=|\overrightarrow {MP}|=5r=∣MP∣=5​


C∶    (x−3)2+(y−2)2=25C∶\ \ \ \ \left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25C∶    (x−3)2+(y−2)2=25​


Équation de la sphère

Le centre MMM​ et un point PPP​ sur la sphère sont donnés.


MÉTHODE

1.

Calcule le rayon rrr​ : distance de MMM​ à PPP​.

2.

Écris l’équation de la sphère pour les valeurs de rrr​ et MMM​.


Exemple

Donnés : M(−2;2;1)M\left(-2;2;1\right)M(−2;2;1)​ et P(1;−2;−1)P\left(1;-2;-1\right)P(1;−2;−1)​

Rayon : r=∣MP→∣=29r=|\overrightarrow {MP}|=\sqrt{29}r=∣MP∣=29​​

S∶    (x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=29S∶\ \ \ \ \left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29S∶    (x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=29​​


Méthode pour les exercices typiques

Conversion d’une équation d’un cercle ou d’une sphère en forme standard (forme normale)

MÉTHODE

1.

Pour chaque variable, utilise la complétion du carré pour obtenir des termes de forme (x−xM)2,(y−yM)2 \left(x-x_M\right)^2,\left(y-y_M\right)^2\ (x−xM​)2,(y−yM​)2 ​ et (z−zM)2\left(z-z_M\right)^2(z−zM​)2​.

2.

Écris l’équation sous la forme souhaitée :

  • Parenthèses à gauche
  • Nombres à droite

3.

Le rayon et les coordonnées du centre peuvent être extraits directement de l’équation.


Conseil 1 : Pour la complétion quadratique révise les identités remarquables.


Conseil 2 : Le côté du rayon (à droite) doit être positif. Sinon ce n’est pas un cercle.


Exemple – Cercle

Équation :  x2+y2+6x−4y=12\ x^2+y^2+6x-4y=12 x2+y2+6x−4y=12​

Complétion du carré :

x2+6x+9−9⏟compleˊteˊ+y2−4y+4−4⏟compleˊteˊ=12x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{complété}+y^2-4y\underbrace{+ 4-4}_{complété}=12x2+6xcompleˊteˊ+9−9​​+y2−4ycompleˊteˊ+4−4​​=12​​


(x+3)2−9+(y−2)2−4=12{(x+3)}^2-9+{(y-2)}^2-4=12(x+3)2−9+(y−2)2−4=12​​

Équation du cercle :

(x+3)2+(y−2)2=25\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25(x+3)2+(y−2)2=25​​


r=5       M(−3;2)r=5\ \ \ \ \ \ \ M(-3;2)r=5       M(−3;2)​​


Exemple - Sphère

Équation :  x2+y2+z2+4x−8y+6z+4=0\ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0 x2+y2+z2+4x−8y+6z+4=0​


Complétion du carré :

x2+4x+4−4⏟compleˊteˊ+y2−8y+16−16⏟compleˊteˊ+z2+6z+9−9⏟compleˊteˊ=−4x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{complété}+y^2-8y\underbrace{+ 16-16}_{complété}+z^2+6z\underbrace{+ 9-9}_{complété}=-4x2+4xcompleˊteˊ+4−4​​+y2−8ycompleˊteˊ+16−16​​+z2+6zcompleˊteˊ+9−9​​=−4​​


(x+2)2−4+(y−4)2−16+(z−3)2−9+4=0{(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0(x+2)2−4+(y−4)2−16+(z−3)2−9+4=0​​



Équation de la sphère

(x+2)2+(y−4)2+(z−3)2=25{(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25(x+2)2+(y−4)2+(z−3)2=25​​


r=5      M(−2;4;3)r=5\ \ \ \ \ \ M(-2;4;3)r=5      M(−2;4;3)​​








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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:

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Équations de cercles et sphères

Unité 1

Équations de cercles et sphères

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment définit-on un cercle en mathématiques ?

Un cercle décrit tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Quelle est la différence entre un cercle et une sphère ?

Un cercle se trouve dans un plan en deux dimensions (2D), alors qu'une sphère se trouve dans un plan en trois dimensions (3D).

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