Équations de cercles et sphères

2D : Cercles

Forme standard (forme normale)

$$C∶\ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$$​​

Centre $$M(x_M;y_M)$$​ et rayon $$r$$​.

Remarque : Les cercles décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Exemple

Cercle avec centre $$M(2;1)$$​ et rayon $$r=2$$​ :

$$C∶\ \ \ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$$​​

3D : Sphères

Forme standard (forme normale)

$$S∶\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2$$​​

Centre $$M(x_M;y_M;z_M)$$​ et rayon $$r$$​.

Remarque : Les sphères décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Exemple

Sphère avec centre $$M(1;-2;4)$$​ et rayon $$r=3$$​ :

$$S∶\ \ \ \ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9$$​​

Trouver les équations du cercle et de la sphère

Équation du cercle

Le centre $$M$$​ et un point $$P$$​ sur le cercle sont donnés.

MÉTHODE

Exemple

Donnés : $$M\left(3;2\right)$$​ et $$P\left(0;-2\right)$$​

Rayon : $$r=|\overrightarrow {MP}|=5$$​

$$C∶\ \ \ \ \left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$​

Équation de la sphère

Le centre $$M$$​ et un point $$P$$​ sur la sphère sont donnés.

MÉTHODE

Exemple

Donnés : $$M\left(-2;2;1\right)$$​ et $$P\left(1;-2;-1\right)$$​

Rayon : $$r=|\overrightarrow {MP}|=\sqrt{29}$$​

$$S∶\ \ \ \ \left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29$$​​

Méthode pour les exercices typiques

Conversion d’une équation d’un cercle ou d’une sphère en forme standard (forme normale)

MÉTHODE

Conseil 1 : Pour la complétion quadratique révise les identités remarquables.

Conseil 2 : Le côté du rayon (à droite) doit être positif. Sinon ce n’est pas un cercle.

Exemple – Cercle

Équation : $$\ x^2+y^2+6x-4y=12$$​

Complétion du carré :

$$x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{complété}+y^2-4y\underbrace{+ 4-4}_{complété}=12$$​​

$${(x+3)}^2-9+{(y-2)}^2-4=12$$​​

Équation du cercle :

$$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$​​

$$r=5\ \ \ \ \ \ \ M(-3;2)$$​​

Exemple - Sphère

Équation : $$\ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0$$​

Complétion du carré :

$$x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{complété}+y^2-8y\underbrace{+ 16-16}_{complété}+z^2+6z\underbrace{+ 9-9}_{complété}=-4$$​​

$${(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0$$​​

Équation de la sphère

$${(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25$$​​

$$r=5\ \ \ \ \ \ M(-2;4;3)$$​​