Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par parties est une méthode possible pour déterminer l'intégrale de fonctions composées.

Application

Surtout pour les produits de fonction.

Formule

$\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)dx=\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{u\prime(x)\cdot v(x)dx}}$

L'intégration par parties sépare l'intégrale en une partie déjà intégrée (à gauche) et une partie qui doit encore être intégrée. Cette séparation facilite souvent le calcul.

Méthode

1.	Choisis $u\left(x\right)$ et $v^\prime\left(x\right)$ . Conseils : $u\left(x\right)$ : partie de la fonction qui peut être dérivée rapidement et dont la dérivée est très simple. Exemple : $x\underbrace{→}_{Dérivée}1$ $v^\prime\left(x\right)$ : partie de la fonction à partir de laquelle on peut facilement former deux fois la primitive. Exemple : $e^x\underbrace{→}_{Intégrale}e^x$
2.	Détermine $u'(x)$ et $v\left(x\right).$
3.	Assemble $u\left(x\right)$ , $u'\left(x\right)$ , $v\left(x\right)$ et $v'\left(x\right)$ selon la formule : $\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)dx=\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{u'(x)\cdot v(x)dx}}$
4.	Continue l’intégration.

Exemple

$\int_{0}^{1}{xe^xdx}$

Choisis les fonctions $u\left(x\right)$ et $v'\left(x\right)$ :

$u\left(x\right)=x\\v'\left(x\right)=e^x$ 

On peut facilement dériver $u\left(x\right)$ :

$u'\left(x\right)=1$ 

On peut facilement intégrer $v'\left(x\right)$ :

$v\left(x\right)=e^x$ 

Utilise la formule :

$=\left[ \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v} \right]_0^1-\int_{0}^{1} \underbrace{1}_{u'} \cdot \underbrace{e^x}_{v} dx$ 

Continue l’intégration :

$=\left[x\cdot e^x\right]_0^1-\left[e^x\right]_0^1$ 

$=1\cdot e^1-0\cdot e^0-\left(e^1-e^0\right)=e-0-\left(e-1\right)=\underline{1}$ 