Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par parties est une méthode possible pour déterminer l'intégrale de fonctions composées.

Application

Surtout pour les produits de fonction. 

Formule

$$\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)dx=\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{u\prime(x)\cdot v(x)dx}}$$​​

L'intégration par parties sépare l'intégrale en une partie déjà intégrée (à gauche) et une partie qui doit encore être intégrée. Cette séparation facilite souvent le calcul.

Méthode

Exemple

​$$\int_{0}^{1}{xe^xdx}$$​​

Choisis les fonctions $$u\left(x\right)$$​ et $$v'\left(x\right)$$​ :

$$u\left(x\right)=x\\v'\left(x\right)=e^x$$​​

On peut facilement dériver $$u\left(x\right)$$​ :

$$u'\left(x\right)=1$$​​

On peut facilement intégrer $$v'\left(x\right)$$​ :

$$v\left(x\right)=e^x$$​​

Utilise la formule :

$$=\left[ \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v} \right]_0^1-\int_{0}^{1} \underbrace{1}_{u'} \cdot \underbrace{e^x}_{v} dx$$​​

Continue l’intégration :

$$=\left[x\cdot e^x\right]_0^1-\left[e^x\right]_0^1$$​​

$$=1\cdot e^1-0\cdot e^0-\left(e^1-e^0\right)=e-0-\left(e-1\right)=\underline{1}$$​​