Matrices

Définition

Une matrice $(m,n)$ est un tableau de nombres avec $m$ lignes et $n$ colonnes. Les éléments d’une matrice, appelés « coefficients », sont souvent des nombres réels.

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}&a_{23}&\ \cdots&a_{2n}\\a_{31}&\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right)=(aij)1≤i≤m1≤j≤n$

$a_{ij}$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et la colonne $j$ .

Exemple - Matrice

$A=\left(\begin{matrix}6&1&8\\3&8&3\\-1&-1&0\\\end{matrix}\right)$ 

Notions

DIMENSION	La dimension correspond au nombre de lignes et de colonnes $n$ : « $m\times n$ ».
MATRICE CARRÉE	Dans une matrice carrée, il y a autant de lignes que de colonnes : $m=n$ . (Dimension : $n\times n$ )
DIAGONALE PRINCIPALE	La diagonale principale d’une matrice contient tous les coefficients $a_{ii}$ de la matrice : ( $a_{11},\ a_{22},\ ..\ )$ .

Matrices particulières

MATRICE NULLE « $0$ »	Tous les coefficients sont zéro. $0_{nm}$ : matrice nulle $n\times m$	$\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)$
MATRICE IDENTITÉ « E » (pour les matrices carrées)	Tous les coefficients de la diagonale principale sont un et tous les autres zéros. $E_n$ : matrice identitaire $n\times n$	$\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$
MATRICE DIAGONALE (pour les matrices carrées)	Tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont zéro.	$\left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&18\\\end{matrix}\right)$
MATRICE TRIANGULAIRE SUPÉRIEURE (pour les matrices carrées)	Tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont zéro.	$\left(\begin{matrix}3&3&2\\0&7&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$
MATRICE TRIANGULAIRE INFÉRIEURE (pour les matrices carrées)	Tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont zéro.	$\left(\begin{matrix}3&0&0\\1&-1&0\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)$

Remarque : Les coefficients de la diagonale peuvent aussi être zéro dans une matrice diagonale.

Matrice transposée

Définition

La transposée $A^T$ de $A$ est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes.

La matrice est renversée.

A=\left(\begin{matrix}1&3\\-4&0\\2&-5\\\end{matrix}\right)\rightarrow A^T=\left(\begin{matrix}1&-4&2\\3&0&-5\\\end{matrix}\right)

Propriétés

$\left(A^T\right)^T=A$	La transposée de la transposée est la matrice originale.
$\left(A+B\right)^T=A^T+B^T$	La transposée d’une somme de matrices correspond à la somme des transposées.
${(r\cdot A)}^T={r\cdot A}^T$	La transposée d’un multiple d’une matrice correspond au multiple de la transposée. ( $r$ : nombre réel)
${(A\cdot B)}^T=B^T\cdot A^T$	La transposée d’un produit de matrices correspond au produit des matrices transposées dans l’ordre inverse.