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Résumés

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Matrices

Définition

Une matrice (m,n)(m,n)(m,n)​ est un tableau de nombres avec mmm​ lignes et nnn​ colonnes. Les éléments d’une matrice, appelés « coefficients », sont souvent des nombres réels.

A=(a11a12a13⋯a1na21 a22a23 ⋯a2na31 a32a33⋯a3n⋮ ⋯⋯⋱ ⋮am1am2am3⋯amn)=(aij)1≤i≤m1≤j≤nA=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}&a_{23}&\ \cdots&a_{2n}\\a_{31}&\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right)=(aij)1≤i≤m1≤j≤n A=​a11​a21​a31​⋮am1​​a12​ a22​ a32​ ⋯am2​​a13​a23​a33​⋯am3​​⋯ ⋯⋯⋱ ⋯​a1n​a2n​a3n​⋮amn​​​=(aij)1≤i≤m1≤j≤n​​


aija_{ij}aij​​ est le coefficient situé à la ligne iii​ et la colonne jjj​.


Exemple - Matrice

A=(618383−1−10)A=\left(\begin{matrix}6&1&8\\3&8&3\\-1&-1&0\\\end{matrix}\right)A=​63−1​18−1​830​​​​


Notions

DIMENSION

La dimension correspond au nombre de lignes et de colonnes nnn​ : «m×nm\times nm×n​».

MATRICE CARRÉE

Dans une matrice carrée, il y a autant de lignes que de colonnes : m=nm=nm=n​. (Dimension : n×nn\times nn×n​)

DIAGONALE PRINCIPALE

La diagonale principale d’une matrice contient tous les coefficients aiia_{ii}aii​​ de la matrice : (a11, a22, .. )a_{11},\ a_{22},\ ..\ )a11​, a22​, .. )​.


Matrices particulières

MATRICE NULLE «000​»

Tous les coefficients sont zéro. 

0nm0_{nm}0nm​​ : matrice nulle n×mn\times mn×m​
​(000000)\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)​000​000​​​​

MATRICE IDENTITÉ « E »

(pour les matrices carrées)

Tous les coefficients de la diagonale principale sont un et tous les autres zéros.

EnE_nEn​​ : matrice identitaire n×nn\times nn×n​
​(100010001)\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​100​010​001​​​​

MATRICE DIAGONALE

(pour les matrices carrées)

Tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont zéro. 
​(−1000400018)\left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&18\\\end{matrix}\right)​−100​040​0018​​​​

MATRICE TRIANGULAIRE SUPÉRIEURE

(pour les matrices carrées)

Tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont zéro.
​(33207−1001)\left(\begin{matrix}3&3&2\\0&7&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​300​370​2−11​​​​

MATRICE TRIANGULAIRE INFÉRIEURE

(pour les matrices carrées)

Tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont zéro.
​(3001−105−91)\left(\begin{matrix}3&0&0\\1&-1&0\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)​315​0−1−9​001​​​​


​Remarque : Les coefficients de la diagonale peuvent aussi être zéro dans une matrice diagonale.



Matrice transposée

Définition

La transposée ATA^TAT​ de AAA​ est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes.

La matrice est renversée. 
​A=(13−402−5)→AT=(1−4230−5)A=\left(\begin{matrix}1&3\\-4&0\\2&-5\\\end{matrix}\right)\rightarrow A^T=\left(\begin{matrix}1&-4&2\\3&0&-5\\\end{matrix}\right)A=​1−42​30−5​​→AT=(13​−40​2−5​)​​


Propriétés

​(AT)T=A\left(A^T\right)^T=A(AT)T=A​​

La transposée de la transposée est la matrice originale.

​(A+B)T=AT+BT\left(A+B\right)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT​​

La transposée d’une somme de matrices correspond à la somme des transposées.

​(r⋅A)T=r⋅AT{(r\cdot A)}^T={r\cdot A}^T(r⋅A)T=r⋅AT​​

La transposée d’un multiple d’une matrice correspond au multiple de la transposée. ( rrr​: nombre réel)

​(A⋅B)T=BT⋅AT{(A\cdot B)}^T=B^T\cdot A^T(A⋅B)T=BT⋅AT​​

La transposée d’un produit de matrices correspond au produit des matrices transposées dans l’ordre inverse.



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Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Unité 1

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce qu'une matrice transposée ?

La transposée AT de A est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. La matrice est renversée.

Quelles sont les matrices particulières ?

- Matrice nulle "0" : tous les coefficients sont zéro. - Matrice identité "E" (pour les matrices carrées) : tous les coefficients de la diagonale principale sont 1 et tous les autres zéro. - Matrice diagonale (pour les matrices carrées) : tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont zéro. - Matrice triangulaire supérieure (pour les matrices carrées) : tous les coefficients en-dessous de la diagonale principale sont zéro. - Matrice triangulaire inférieure (pour les matrices carrées) : tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont zéro. Remarque : les coefficients de la diagonale peuvent aussi être zéro dans une matrice diagonale.

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice (m, n) est un tableau de nombres avec m lignes et n colonnes. Les éléments d'une matrice, appelés "coefficients", sont souvent des nombres réels.

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