Intégrale impropre - Définition et calcul

Définition

On parle d’intégrale impropre quand (au moins) une des bornes est infinie ou quand (au moins) une des bornes coïncide avec une asymptote verticale.

ASYMPTOTE VERTICALE	BORNE INFINIE
On veut calculer l’intégrale entre $0$ (asymptote verticale) et $b$ .	On veut calculer l’intégrale entre $a$ et $\infty$ .

Calcul

Une intégrale impropre peut être calculée avec la formule suivante :

ASYMPTOTE VERTICALE $x=t$

BORNE INFINIE

$A=\lim\limits_{a\rightarrow t}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

ou

$A=\lim\limits_{b\rightarrow t}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

$A=\lim\limits_{a\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

ou

$A=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

MÉTHODE

1.

Introduis les bornes d’intégration et la fonction dans la formule.

Définis la borne d’intégration correspondant à l’asymptote comme paramètre.

2.

Intègre la fonction.

3.

Calcule la limite pour $a\rightarrow\infty$ ou $b\rightarrow\infty$ dans le cas d’une borne infinie, et $a\rightarrow t$ ou $b\rightarrow t$ dans le cas d’une asymptote verticale $x=t$ .

Exemple

Détermine l’aire entre le graphe de $f\left(x\right)$ et l’axe des $x$ sur l’intervalle de $x=-\infty$ à $x=0$ .

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x$

Utilise la formule :

$\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}$

Intègre la fonction :

$=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0}\\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a$

Calcule la limite :

$=\frac{1}{2}$