Accueil

Mathématiques

Bases

Matrices - Déterminant

Choisir une leçon

Introduction

Équations différentielles

Équations homogènes

Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Résumés

Matrices - Déterminant

Définition

On peut attribuer un « déterminant » à chaque matrice carrée. Le déterminant est un nombre, qui peut être calculé à partir des coefficients de la matrice.

On note soit $det(A)\$ ou $\left|A\right|$ pour le déterminant.

Formules

Selon la dimension de la matrice, on utilise une autre règle pour calculer le déterminant.

DIMENSION	MATRICE	DETERMINANT $det{\left(A\right)}$
$\mathbf{2}\times\mathbf{2}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$	$det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
$\mathbf{3}\times\mathbf{3}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)$	$det{\left(A\right)}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21}$

Conseil : Calcul pour les matrices 3x3 :

Juxtapose les deux premières colonnes à la matrice.

Multiplie le long des diagonales indiquées et assemble les produits comme écrit :

Mathématiques; Bases; 4e Collège; Matrices - Déterminant

Exemple 1 : 2x2

$det\left(\begin{matrix}2&1\\-3&-4\\\end{matrix}\right)=2\cdot(-4)-1\cdot(-3)=-5$

Exemple 2 : 3x3

$det\left(\begin{matrix}1&3&5\\-2&1&-2\\2&0&-3\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=-43$

Propriétés

$det{\left(A\cdot B\right)}=det{\left(A\right)}\cdot d e t{\left(B\right)}$	Le déterminant d’un produit de matrices est égal au produit des déterminants.
$det{\left(A^{-1}\right)}=\frac{1}{det(A)}$	Le déterminant de la matrice inverse est égal à l’inverse du déterminant.
$det{\left(A^T\right)}=det{\left(A\right)}$	Le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice originale.

Applications

Calcul d’aires dans $\mathbb{R}^2$

Deux vecteurs qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélogramme.

Si l’on écrit ces vecteurs côte à côte dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient l’aire du parallélogramme.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=A

A_P=\left|det\left|A\right|\right|

Exemple :

Les vecteurs $\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}-2\\3\\\end{matrix}\right)$ engendrent un parallélogramme.

Matrice :

$A=\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)$

Déterminant :

$det\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)=1\cdot3-(-2)\cdot2=7$

La valeur de l’aire est $7$ .

Calcul de volumes dans $\mathbb{R}^3$

Trois vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ ( $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ et $\overrightarrow c$ ) qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélotope.

Si l’on écrit ces vecteurs dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient le volume du parallélotope.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c)=A

V_P=\left|det\left|A\right|\right|

Exemple :

Les vecteurs $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ engendrent un parallélotope.

On peut calculer son volume comme suit :

$det\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot0-0\cdot0\cdot1=1$

La valeur du volume est 1.

Dépendance linéaire de vecteurs

Grâce au déterminant, on peut vérifier si deux vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ ou trois vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ sont linéairement dépendants (ou indépendants).

METHODE

Construis une matrice contenant les vecteurs :

Calcule le déterminant de la matrice.

$det\left|A\right|=0$  linéairement dépendants

$det\left|A\right|\neq0$  linéairement indépendants

Exemple :

Deux vecteurs $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-6\\-6\end{pmatrix}$ 

Matrice :

$A=\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)$ 

Déterminant :

$det\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)=3\cdot\left(-8\right)-\left(-6\right)\cdot4=0$

Les vecteurs sont linéairement dépendants.

Systèmes d’équations linéaires

Grâce au déterminant, on peut vérifier si un système d’équations linéaires possède une solution.

METHODE

Transforme le système d’équations pour obtenir la matrice $A$ :

$A\cdot x=b$

Calcule le déterminant.

$det\left|A\right|\neq0$  Il existe une solution.

$det\left|A\right|=0$  Soit il n’existe pas de solution soit il en existe une infinité.

Exemple :

$3x+2y=7\\4x+9y=22\$

Forme matricielle :

$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\22\end{pmatrix}$ 

Déterminant de la matrice :

$det\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)=27-6=21>0$ 

Le système d’équations possède une solution.

Matrice inverse

Il existe une matrice inverse $A^{-1}$ de $A$ si et seulement si le déterminant n’est pas zéro.

Lire plus

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Matrices - Déterminant

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

À quoi peut servir le déterminant ?

- Grâce au déterminant, on peut vérifier si deux ou trois vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants. - Grâce au déterminant, on peut vérifier si un système d'équations linéaires possède une solution.

Quelles sont les propriétés du déterminant ?

- Le déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants. - Le déterminant de la matrice inverse est égal à l'inverse du déterminant. - Le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice originale.

Qu'est-ce qu'un déterminant ?

On peut attribuer un "déterminant" à chaque matrice carrée. Le déterminant est un nombre qui peut être calculé à partir de des coefficients de la matrice.

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Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

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Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

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Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

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Relations entre un plan et une droite

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Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

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Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Résumés

Matrices - Déterminant

Définition

On peut attribuer un « déterminant » à chaque matrice carrée. Le déterminant est un nombre, qui peut être calculé à partir des coefficients de la matrice.

On note soit $det(A)\$ ou $\left|A\right|$ pour le déterminant.

Formules

Selon la dimension de la matrice, on utilise une autre règle pour calculer le déterminant.

DIMENSION	MATRICE	DETERMINANT $det{\left(A\right)}$
$\mathbf{2}\times\mathbf{2}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$	$det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
$\mathbf{3}\times\mathbf{3}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)$	$det{\left(A\right)}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21}$

Conseil : Calcul pour les matrices 3x3 :

Juxtapose les deux premières colonnes à la matrice.

Multiplie le long des diagonales indiquées et assemble les produits comme écrit :

Exemple 1 : 2x2

$det\left(\begin{matrix}2&1\\-3&-4\\\end{matrix}\right)=2\cdot(-4)-1\cdot(-3)=-5$

Exemple 2 : 3x3

$det\left(\begin{matrix}1&3&5\\-2&1&-2\\2&0&-3\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=-43$

Propriétés

$det{\left(A\cdot B\right)}=det{\left(A\right)}\cdot d e t{\left(B\right)}$	Le déterminant d’un produit de matrices est égal au produit des déterminants.
$det{\left(A^{-1}\right)}=\frac{1}{det(A)}$	Le déterminant de la matrice inverse est égal à l’inverse du déterminant.
$det{\left(A^T\right)}=det{\left(A\right)}$	Le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice originale.

Applications

Calcul d’aires dans $\mathbb{R}^2$

Deux vecteurs qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélogramme.

Si l’on écrit ces vecteurs côte à côte dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient l’aire du parallélogramme.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=A

A_P=\left|det\left|A\right|\right|

Exemple :

Les vecteurs $\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}-2\\3\\\end{matrix}\right)$ engendrent un parallélogramme.

Matrice :

$A=\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)$

Déterminant :

$det\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)=1\cdot3-(-2)\cdot2=7$

La valeur de l’aire est $7$ .

Calcul de volumes dans $\mathbb{R}^3$

Trois vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ ( $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ et $\overrightarrow c$ ) qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélotope.

Si l’on écrit ces vecteurs dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient le volume du parallélotope.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c)=A

V_P=\left|det\left|A\right|\right|

Exemple :

Les vecteurs $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ engendrent un parallélotope.

On peut calculer son volume comme suit :

$det\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot0-0\cdot0\cdot1=1$

La valeur du volume est 1.

Dépendance linéaire de vecteurs

Grâce au déterminant, on peut vérifier si deux vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ ou trois vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ sont linéairement dépendants (ou indépendants).

METHODE

Construis une matrice contenant les vecteurs :

Calcule le déterminant de la matrice.

$det\left|A\right|=0$  linéairement dépendants

$det\left|A\right|\neq0$  linéairement indépendants

Exemple :

Deux vecteurs $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-6\\-6\end{pmatrix}$ 

Matrice :

$A=\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)$ 

Déterminant :

$det\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)=3\cdot\left(-8\right)-\left(-6\right)\cdot4=0$

Les vecteurs sont linéairement dépendants.

Systèmes d’équations linéaires

Grâce au déterminant, on peut vérifier si un système d’équations linéaires possède une solution.

METHODE

Transforme le système d’équations pour obtenir la matrice $A$ :

$A\cdot x=b$

Calcule le déterminant.

$det\left|A\right|\neq0$  Il existe une solution.

$det\left|A\right|=0$  Soit il n’existe pas de solution soit il en existe une infinité.

Exemple :

$3x+2y=7\\4x+9y=22\$

Forme matricielle :

$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\22\end{pmatrix}$ 

Déterminant de la matrice :

$det\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)=27-6=21>0$ 

Le système d’équations possède une solution.

Matrice inverse

Il existe une matrice inverse $A^{-1}$ de $A$ si et seulement si le déterminant n’est pas zéro.

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Matrices - Déterminant

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Questions fréquemment posées sur les crédits

À quoi peut servir le déterminant ?

Quelles sont les propriétés du déterminant ?

Qu'est-ce qu'un déterminant ?

On peut attribuer un "déterminant" à chaque matrice carrée. Le déterminant est un nombre qui peut être calculé à partir de des coefficients de la matrice.

Matrices - Déterminant

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Calcul Intégral

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Distributions

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Probabilités

Combinatoire

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Droites

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Propriétés des fonctions

Fonctions linéaires

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Matrices - Déterminant

Définition

Formules

DIMENSION

MATRICE

DETERMINANT det(A)det{\left(A\right)}det(A)​

Propriétés

Applications

Calcul d’aires dans R2\mathbb{R}^2R2​

Exemple :

Calcul de volumes dans R3\mathbb{R}^3R3​

Exemple :

Dépendance linéaire de vecteurs

METHODE

Exemple :

Systèmes d’équations linéaires

METHODE

Exemple :

Matrice inverse

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Questions fréquemment posées sur les crédits

À quoi peut servir le déterminant ?

Quelles sont les propriétés du déterminant ?

Qu'est-ce qu'un déterminant ?

Matrices - Déterminant

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Bases

Séries

Suites

Calcul Intégral

Étude de fonction

Calcul différentiel

Distributions

Statistique

Probabilités

Combinatoire

Probabilités

Combinatoire

Cercle Sphère

Plans

Droites

Introduction

Propriétés des fonctions

DETERMINANT $det{\left(A\right)}$

Calcul d’aires dans $\mathbb{R}^2$

Calcul de volumes dans $\mathbb{R}^3$

DETERMINANT $det{\left(A\right)}$

Calcul d’aires dans $\mathbb{R}^2$

Calcul de volumes dans $\mathbb{R}^3$