Matrices - Déterminant

Définition

On peut attribuer un « déterminant » à chaque matrice carrée. Le déterminant est un nombre, qui peut être calculé à partir des coefficients de la matrice.

On note soit $$det(A)\$$​ ou $$\left|A\right|$$​ pour le déterminant.

Formules

Selon la dimension de la matrice, on utilise une autre règle pour calculer le déterminant.

Conseil : Calcul pour les matrices 3x3 :

Juxtapose les deux premières colonnes à la matrice.

Multiplie le long des diagonales indiquées et assemble les produits comme écrit :

Exemple 1 : 2x2

​$$det\left(\begin{matrix}2&1\\-3&-4\\\end{matrix}\right)=2\cdot(-4)-1\cdot(-3)=-5$$​​

Exemple 2 : 3x3

$$det\left(\begin{matrix}1&3&5\\-2&1&-2\\2&0&-3\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=-43$$​​

Propriétés

​

Applications

Calcul d’aires dans $$\mathbb{R}^2$$​

Deux vecteurs qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélogramme.

Si l’on écrit ces vecteurs côte à côte dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient l’aire du parallélogramme. 

Exemple :

Les vecteurs $$\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)$$​ et $$\left(\begin{matrix}-2\\3\\\end{matrix}\right)$$​ engendrent un parallélogramme.

Matrice :

$$A=\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)$$​​

Déterminant :

$$det\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)=1\cdot3-(-2)\cdot2=7$$​​

La valeur de l’aire est $$7$$​.

Calcul de volumes dans $$\mathbb{R}^3$$​

Trois vecteurs dans $$\mathbb{R}^3$$​ ($$\overrightarrow a, \overrightarrow b$$​ et $$\overrightarrow c$$​) qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélotope.

Si l’on écrit ces vecteurs dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient le volume du parallélotope.

Exemple : 

Les vecteurs $$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$​, $$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$​ et $$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$​ engendrent un parallélotope. 

On peut calculer son volume comme suit :

$$det\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot0-0\cdot0\cdot1=1$$​​

La valeur du volume est 1.

Dépendance linéaire de vecteurs

Grâce au déterminant, on peut vérifier si deux vecteurs dans $$\mathbb{R}^2$$​ ou trois vecteurs dans $$\mathbb{R}^3$$​ sont linéairement dépendants (ou indépendants). 

METHODE

1.	Construis une matrice contenant les vecteurs :
2.	Calcule le déterminant de la matrice. $$det\left|A\right|=0$$​  linéairement dépendants $$det\left|A\right|\neq0$$​  linéairement indépendants

Exemple :

Deux vecteurs $$\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$$​ et $$\begin{pmatrix}-6\\-6\end{pmatrix}$$​

Matrice :

$$A=\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)$$​​

Déterminant :

​$$det\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)=3\cdot\left(-8\right)-\left(-6\right)\cdot4=0$$​​

Les vecteurs sont linéairement dépendants.

Systèmes d’équations linéaires

Grâce au déterminant, on peut vérifier si un système d’équations linéaires possède une solution.

METHODE

Exemple :

$$3x+2y=7\\4x+9y=22\$$​​

Forme matricielle :

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\22\end{pmatrix}$$​​

Déterminant de la matrice :

$$det\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)=27-6=21>0$$​​

Le système d’équations possède une solution.

Matrice inverse

Il existe une matrice inverse $$A^{-1}$$​ de $$A$$​ si et seulement si le déterminant n’est pas zéro.