Matrices - Déterminant

Définition

On peut attribuer un « déterminant » à chaque matrice carrée. Le déterminant est un nombre, qui peut être calculé à partir des coefficients de la matrice.

On note soit $det(A)\$ ou $\left|A\right|$ pour le déterminant.

Formules

Selon la dimension de la matrice, on utilise une autre règle pour calculer le déterminant.

DIMENSION	MATRICE	DETERMINANT $det{\left(A\right)}$
$\mathbf{2}\times\mathbf{2}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$	$det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
$\mathbf{3}\times\mathbf{3}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)$	$det{\left(A\right)}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21}$

Conseil : Calcul pour les matrices 3x3 :

Juxtapose les deux premières colonnes à la matrice.

Multiplie le long des diagonales indiquées et assemble les produits comme écrit :

Mathématiques; Bases; 4e Collège; Matrices - Déterminant

Exemple 1 : 2x2

$det\left(\begin{matrix}2&1\\-3&-4\\\end{matrix}\right)=2\cdot(-4)-1\cdot(-3)=-5$

Exemple 2 : 3x3

$det\left(\begin{matrix}1&3&5\\-2&1&-2\\2&0&-3\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=-43$

Propriétés

$det{\left(A\cdot B\right)}=det{\left(A\right)}\cdot d e t{\left(B\right)}$	Le déterminant d’un produit de matrices est égal au produit des déterminants.
$det{\left(A^{-1}\right)}=\frac{1}{det(A)}$	Le déterminant de la matrice inverse est égal à l’inverse du déterminant.
$det{\left(A^T\right)}=det{\left(A\right)}$	Le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice originale.

Applications

Calcul d’aires dans $\mathbb{R}^2$

Deux vecteurs qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélogramme.

Mathématiques; Bases; 4e Collège; Matrices - Déterminant

Si l’on écrit ces vecteurs côte à côte dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient l’aire du parallélogramme.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=A

A_P=\left|det\left|A\right|\right|

Exemple :

Les vecteurs $\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}-2\\3\\\end{matrix}\right)$ engendrent un parallélogramme.

Matrice :

$A=\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)$

Déterminant :

$det\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)=1\cdot3-(-2)\cdot2=7$

La valeur de l’aire est $7$ .

Calcul de volumes dans $\mathbb{R}^3$

Trois vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ ( $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ et $\overrightarrow c$ ) qui ne sont pas parallèles engendrent un parallélotope.

Mathématiques; Bases; 4e Collège; Matrices - Déterminant

Si l’on écrit ces vecteurs dans une matrice et qu’on calcule le déterminant, on obtient le volume du parallélotope.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c)=A

V_P=\left|det\left|A\right|\right|

Exemple :

Les vecteurs $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ engendrent un parallélotope.

On peut calculer son volume comme suit :

$det\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot0-0\cdot0\cdot1=1$

La valeur du volume est 1.

Dépendance linéaire de vecteurs

Grâce au déterminant, on peut vérifier si deux vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ ou trois vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ sont linéairement dépendants (ou indépendants).

METHODE

1.

Construis une matrice contenant les vecteurs :

Mathématiques; Bases; 4e Collège; Matrices - Déterminant

2.

Calcule le déterminant de la matrice.

$det\left|A\right|=0$  linéairement dépendants

$det\left|A\right|\neq0$  linéairement indépendants

Exemple :

Deux vecteurs $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-6\\-6\end{pmatrix}$ 

Matrice :

$A=\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)$ 

Déterminant :

$det\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-8\\\end{matrix}\right)=3\cdot\left(-8\right)-\left(-6\right)\cdot4=0$

Les vecteurs sont linéairement dépendants.

Systèmes d’équations linéaires

Grâce au déterminant, on peut vérifier si un système d’équations linéaires possède une solution.

METHODE

1.

Transforme le système d’équations pour obtenir la matrice $A$ :

$A\cdot x=b$

2.

Calcule le déterminant.

$det\left|A\right|\neq0$  Il existe une solution.

$det\left|A\right|=0$  Soit il n’existe pas de solution soit il en existe une infinité.

Exemple :

$3x+2y=7\\4x+9y=22\$

Forme matricielle :

$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\22\end{pmatrix}$ 

Déterminant de la matrice :

$det\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)=27-6=21>0$ 

Le système d’équations possède une solution.

Matrice inverse

Il existe une matrice inverse $A^{-1}$ de $A$ si et seulement si le déterminant n’est pas zéro.