Domaine de définition d'une fonction

Domaine de définition $\mathbb{D}$

Définition

Le domaine de définition spécifie l’ensemble de valeurs que peut prendre la variable $x$ d’une fonction $f(x)$ .

Notations

Il existe plusieurs façons de décrire le domaine de définition.

CAS FRÉQUENTS :

Ensemble des réels

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Tous les nombres réels

Ensemble des réels sans nombres individuels

$\mathbb{D}=\mathbb{R}\left\{3\right\} \\\mathbb{D}=\mathbb{R}\left\{0\ ,\ 3\right\}$

Sans 3

Sans 0 et 3

Ensemble des réels supérieurs/inférieurs à un nombre

$\mathbb{D}={x\in\mathbb{R}|x>3} \\\mathbb{D}={x\in\mathbb{R}|x\le3} \\\mathbb{D}={x\in\mathbb{R}|0<x<3}$

Supérieur à 3

Inférieur ou égal à 3

Supérieur à 0 et inférieur à 3

Fonctions au domaine de définition restreint

Fonctions dont le domaine de définition doit être limité :

Fraction avec $x$ au dénominateur

Un dénominateur ne peut pas être zéro :

$Dénominateur≠0$

Exemple

Fonction	Domaine de définition :
$\frac{2x^2}{x-1}$	$\mathbb{D}=\mathbb{R}\left\{1\right\}$

Racine qui contient $x$

Le terme sous la racine ne doit pas être inférieur à zéro :

$Racine\geq0$

Exemple

Fonction	Domaine de définition :
$\sqrt{x-1}$	$\mathbb{D}=\{x\in\mathbb{R}\|x\geq1\}$

Logarithme avec $x$ dans l’argument

Le terme dans le logarithme ne doit pas être inférieur ou égal à zéro :

$contenu\ de\ log>0$

Exemple

Fonction	Domaine de définition :
$log\left(x+2\right)$	$\mathbb{D}={x\in\mathbb{R}\|x>-2}$

Tangente avec $x$

Le terme dans la tangente ne doit pas prendre les valeurs suivantes :

$contenu\ de\ tan\neq\ldots,\ -\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \ldots$

Exemple

Fonction	Domaine de définition :
$tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$	$\mathbb{D}=\mathbb{R}\left\{\ldots;-2\pi;-\pi;0;\pi;\ldots\right\}$

Déterminer le domaine de définition

MÉTHODE

1.

Vérifie les fonctions avec :

Fraction avec $x$ dans le dénominateur	Détermine les zéros des termes du dénominateur.
Racine avec $x$	Résous l'inégalité en $x$ : $contenu\ de\ la\ racine\geq0$
Logarithme avec $x$	Résous l’inégalité en $x$ : $contenu\ de\ log\geq0$
Tangente avec $x$	Résous l’équation : $contenu\ de\ tan=\ldots,\ -\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \ldots$

Plusieurs restrictions peuvent apparaître. Ces restrictions sont unies dans le domaine de définition.

Si aucune restriction n'est donnée, le domaine de définition n'est pas contraint.

2.

Note le domaine de définition.