Coefficient binomial : propriétés

Définition

Le coefficient binomial $$\binom{n}{k}$$​  est une formule qu’on utilise principalement en combinatoire et en calcul des probabilités. Elle indique de combien de façons différentes, on peut sélectionner $$k$$​ éléments d’un ensemble de $$n$$​ objets différents. 

Remarque : On dit «$$k$$​ parmi $$n$$​».

Formule

Le coefficient binomial $$\binom{n}{k}$$​  :

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$​​

Exemple

​$$\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\left(12-3\right)!}=\frac{12!}{3!9!}=220$$​​

Propriétés

Les formules suivantes sont souvent utiles pour transformer le coefficient binomial :

$$\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\\$$​​

Exemple d’application

Formule du binôme de Newton

Le coefficient binomial permet de calculer la formule du binôme de Newton.

La formule du binôme de Newton permet d’écrire les binômes $${(x+y)}^n$$​ sous forme de polynômes.

$${(x+y)}^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k$$​​

Exemple - la première identité remarquable

​$${(x+y)}^2=\binom{2}{0}\cdot x^2{\cdot y}^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2$$​​