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Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Coefficient binomial : propriétés

Définition

Le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}(kn​)​  est une formule qu’on utilise principalement en combinatoire et en calcul des probabilités. Elle indique de combien de façons différentes, on peut sélectionner kkk​ éléments d’un ensemble de nnn​ objets différents. 


Remarque : On dit «kkk​ parmi nnn​».


Formule

Le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}(kn​)​  :


(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​​​


Exemple

​(123)=12!3!(12−3)!=12!3!9!=220\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\left(12-3\right)!}=\frac{12!}{3!9!}=220(312​)=3!(12−3)!12!​=3!9!12!​=220​​


Propriétés

Les formules suivantes sont souvent utiles pour transformer le coefficient binomial :


(n0)=1=(nn)(n1)=n=(nn−1)(nk)=n−k+1k(nk−1)(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\\(0n​)=1=(nn​)(1n​)=n=(n−1n​)(kn​)=kn−k+1​(k−1n​)(k+1n+1​)=(kn​)+(k+1n​)​​


Exemple d’application

Formule du binôme de Newton

Le coefficient binomial permet de calculer la formule du binôme de Newton.

La formule du binôme de Newton permet d’écrire les binômes (x+y)n{(x+y)}^n(x+y)n​ sous forme de polynômes.


(x+y)n=(n0)⋅xn+(n1)⋅xn−1⋅y1+…+(nn−1)⋅x1⋅yn−1+(nn)⋅yn=∑k=0n(nk)⋅xn−k⋅yk{(x+y)}^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k(x+y)n=(0n​)⋅xn+(1n​)⋅xn−1⋅y1+…+(n−1n​)⋅x1⋅yn−1+(nn​)⋅yn=k=0∑n​(kn​)⋅xn−k⋅yk​​


Exemple - la première identité remarquable

​(x+y)2=(20)⋅x2⋅y0+(21)⋅x1⋅y1+(22)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2{(x+y)}^2=\binom{2}{0}\cdot x^2{\cdot y}^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2(x+y)2=(02​)⋅x2⋅y0+(12​)⋅x1⋅y1+(22​)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2​​





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Durée:
Coefficient binomial : propriétés

Unité 1

Coefficient binomial : propriétés

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment calculer le coefficient binomial ?

Le coefficient binomial est défini par la formule (nk)=n!k! (n−k)! ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) !

Qu'est-ce que le coefficient binomial ?

Le coefficient binomial (nk) est une formule qu'on utilise principalement en combinatoire et en calcul des probabilités. Elle indique de combien de façons différentes on peut sélectionner k éléments d'un ensemble de n objets différents.

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