Équation cartésienne et paramétrique de plans

Un plan peut être décrit à l’aide d’une équation cartésienne ou d’une équation paramétrique.

Équation cartésienne

Signification

En changeant les paramètres s et t, on peut décrire n’importe quel point sur le plan.

Remarque : Ici, un nombre infini de représentations différentes pour le même plan sont possibles.

Chaque point sur le plan peut être un point de soutien $$\overrightarrow p$$​.

Chaque vecteur parallèle au plan peut être un des vecteurs directeurs $$\overrightarrow u$$​ et $$\overrightarrow v$$​.

On peut alors raccourcir (ou allonger) les vecteurs directeurs d’un facteur quelconque. On essaie souvent d’obtenir des petites valeurs entières en multipliant toutes les composantes par le même facteur. 

Équation paramétrique

Remarque 1 : Si $$\overrightarrow n$$​ est de longueur 1, $$d$$​ est la distance depuis l’origine. Si $$d=0$$​ le plan passe par l’origine.

Remarque 2 : Ici on peut avoir un nombre infini de représentations différentes pour le même plan.

Chaque point sur le plan peut être un point de référence $$\overrightarrow p$$​.

Chaque vecteur perpendiculaire au plan peut être un vecteur normal $$\overrightarrow n$$​.

Le vecteur normal peut donc être raccourci pour obtenir de petites valeurs entières comme avant.

Plan équidistant

DÉFINITION

Ce plan se trouve entre deux points $$A$$​ et $$B$$​. Chaque point dans ce plan est à la même distance de $$A$$​ que de $$B$$​.

PROPRIÉTÉS

• Perpendiculaire au segment $$AB$$​ ($$\overrightarrow n=\overrightarrow {AB}$$​)
  
• Point de soutien : milieu du segment $$AB$$ ($$\overrightarrow p=\overrightarrow {0A}+\frac12\overrightarrow {AB}$$​)
  

Écrire l’équation d’un plan

Établir une équation paramétrique à partir de 3 points

Trois points $$A$$​, $$B$$​ et $$C$$​ sur un plan sont donnés.

MÉTHODE

Exemple 

Établir une équation cartésienne à partir de 3 points

Trois points $$A$$​, $$B$$​ et $$C$$​ sur un plan sont donnés.

MÉTHODE

Exemple

Établir une équation cartésienne à partir d’un point et du vecteur normal.

Un point $$P$$​ du plan et un vecteur perpendiculaire au plan sont donnés.

MÉTHODE 

Exemple

Conversion entre représentations

Conversion d’une équation paramétrique en équation cartésienne

MÉTHODE

Exemple 

Conversion d’une équation cartésienne en équation paramétrique

MÉTHODE

Exemple