Accueil

Mathématiques

Suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Vidéos explicatives

Résumés

Exercices

Choisir une leçon

Introduction

Équations différentielles

Équations homogènes

Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Résumés

​​​Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Monotonie

Une suite est appelée monotone si elle est croissante ou décroissante.


Types de monotonies

CROISSANTE

​an+1≥ana_{n+1}\geq a_nan+1​≥an​​​

Pour tous les termes : le successeur est toujours supérieur ou égal. 

DÉCROISSANTE

​​​an+1≤ana_{n+1}\le a_nan+1​≤an​​​

Pour tous les termes : le successeur est toujours inférieur ou égal. 

​

Déterminer la monotonie

1.

Calcule la valeur de an−an+1{a_n-a}_{n+1}an​−an+1​​

Conseil : pour déterminer an+1a_{n+1}an+1​ tu peux évaluer ana_{n}an​ pour n+1n+1n+1. 

2.

Simplifie le terme autant que possible. 

3.

Choisis le cas qui convient :

​an−an+1>0{a_n-a}_{n+1}>0an​−an+1​>0​​

croissante

​an−an+1<0{a_n-a}_{n+1}<0an​−an+1​<0​​

décroissante

Sinon la suite n’est ni croissante ni décroissante. 


Exemple

an=1na_n=\frac{1}{n}an​=n1​​ avec n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N


an−an+1=1n−1n+1=n+1n⋅(n+1)−nn⋅(n+1)=1n⋅(n+1)>0{a_n-a}_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\cdot\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}>0an​−an+1​=n1​−n+11​=n⋅(n+1)n+1​−n⋅(n+1)n​=n⋅(n+1)1​>0​​


La différence est positive pour toutes les valeurs de nnn. La suite est décroissante. 


Suites bornées et non bornées

On veut décrire le comportement d’une suite quand nnn​ tend vers l’infini. Une suite est bornée lorsque ses termes ne dépassent jamais une certaine valeur. 


Bornée vers le haut ou vers le bas 

BORNÉE VERS LE HAUT

​bhaut≥anb_{haut}\geq a_nbhaut​≥an​​​

Les termes de la suite ne dépassent jamais la valeur bhaut.b_{haut}.bhaut​.​

BORNÉE VERS LE BAS

​bbas≤anb_{bas}\le a_nbbas​≤an​​​

Les termes de la suite ne dépassent jamais la valeur bbasb_{bas}bbas​​

​

Limites

Définition

La limite est la valeur dont les termes s’approchent lorsqu’on laisse l’index nnn​ tendre vers l’infini. 


LIMITES POSSIBLES

En cas de convergence :

  • la limite est un nombre (par exemple 000​, 111​ ou −1-1−1​).

En cas de divergence :

  • la limite est infinie (∞\infty∞​ ou −∞-\infty−∞​);
  • n’a pas de valeur définie.

Quand une suite est

  • croissante et bornée vers le haut,
  • décroissante et bornée vers le bas,

elle est convergente.
Mathématiques; Suites; 2e Collège; Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

​

Calculer la limite

Pour les suites explicites.


MÉTHODE

1.

Prends la limite en utilisant la définition de la suite : g=lim⁡n→∞ang=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}g=n→∞lim​an​​

2.

Calcule la valeur de  an\ a_n an​​ pour n→∞n\rightarrow\inftyn→∞​: Remplace nnn​ par ∞\infty∞​ et calcule avec ∞\infty∞​.


Conseil 1:  Si tu obtiens ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​​, 00 \frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}\ 00​ ​ ou ∞⋅0\infty\cdot\mathbf{0}∞⋅0​, il faut transformer l’expression.

Conseil 2: C’est souvent utile de mettre n\mathbf{n}n​  en évidence pour les fractions.


Exemple

Limite de an=8n2+412n2a_n=\frac{8n^2+4}{12n^2}an​=12n28n2+4​


Prends la limite :

g=lim⁡n→∞8n2+412n2=8∞2+412∞2≈∞∞g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{8n^2+4}{12n^2}}=\frac{8\infty^2+4}{12\infty^2}\approx\frac{\infty}{\infty}g=n→∞lim​12n28n2+4​=12∞28∞2+4​≈∞∞​​​


Transforme l’expression :

lim⁡n→∞8n2+412n2=lim⁡n→∞n2(8+4n2)12n2⏟exclure n2 et reduire=lim⁡n→∞8+4n212=8+4∞212≈8+012=812=23\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{8n^2+4}{12n^2}}=\lim\limits_{n→∞}\underbrace{\frac{n^2(8+4n^2)}{12n^2}}_{exclure\ n^2\ et\ reduire}=\lim\limits_{n→∞}\frac{8+4n^2}{12}=\frac{8+\frac{4}{∞^2}}{12}≈\frac{8+0}{12}=\frac{8}{12}=\frac23n→∞lim​12n28n2+4​=n→∞lim​exclure n2 et reduire12n2n2(8+4n2)​​​=n→∞lim​128+4n2​=128+∞24​​≈128+0​=128​=32​​​



Théorème sur les limites

Les limites respectent les règles suivantes :


Addition / Soustraction de suites

​lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn=ga±gb\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(a_n\pm b_n\right)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}\pm\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}=g_a\pm g_bn→∞lim​(an​±bn​)=n→∞lim​an​±n→∞lim​bn​=ga​±gb​​​

Multiplication de suites

​lim⁡n→∞(an⋅bn)=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn=ga⋅gb\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(a_n\cdot b_n\right)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}=g_a\cdot g_bn→∞lim​(an​⋅bn​)=n→∞lim​an​⋅n→∞lim​bn​=ga​⋅gb​​​

Division de suites

​lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn=gagb\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}}=\frac{g_a}{g_b}n→∞lim​bn​an​​=n→∞lim​bn​n→∞lim​an​​=gb​ga​​​​




Lire plus

Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Unité 1

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Test final

Testez la révision de toutes les unités pour réclamer une planète de récompense.

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que la limite ?

La limite est la valeur dont les termes s'approchent lorsqu'on laisse l'indice n tendre vers l'infini.

Qu'est-ce que la monotonie ?

Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Qu'est-ce qu'une suite bornée ?

On veut décrire le comportement d'une suite quand n tend vers l'infini. Une suite est bornée lorsque ses termes ne dépassent jamais une certaine valeur.

©2020 - 2024 evulpo AG

Beta