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Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

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Relations entre plans

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Relations entre deux droites

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Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

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Vidéo Explicative

Résumés

​​​Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Monotonie

Une suite est appelée monotone si elle est croissante ou décroissante.


Types de monotonies

CROISSANTE

​an+1≥ana_{n+1}\geq a_nan+1​≥an​​​

Pour tous les termes : le successeur est toujours supérieur ou égal. 

DÉCROISSANTE

​​​an+1≤ana_{n+1}\le a_nan+1​≤an​​​

Pour tous les termes : le successeur est toujours inférieur ou égal. 

​

Déterminer la monotonie

1.

Calcule la valeur de an−an+1{a_n-a}_{n+1}an​−an+1​​

Conseil : pour déterminer an+1a_{n+1}an+1​ tu peux évaluer ana_{n}an​ pour n+1n+1n+1. 

2.

Simplifie le terme autant que possible. 

3.

Choisis le cas qui convient :

​an−an+1>0{a_n-a}_{n+1}>0an​−an+1​>0​​

croissante

​an−an+1<0{a_n-a}_{n+1}<0an​−an+1​<0​​

décroissante

Sinon la suite n’est ni croissante ni décroissante. 


Exemple

an=1na_n=\frac{1}{n}an​=n1​​ avec n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N


an−an+1=1n−1n+1=n+1n⋅(n+1)−nn⋅(n+1)=1n⋅(n+1)>0{a_n-a}_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\cdot\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}>0an​−an+1​=n1​−n+11​=n⋅(n+1)n+1​−n⋅(n+1)n​=n⋅(n+1)1​>0​​


La différence est positive pour toutes les valeurs de nnn. La suite est décroissante. 


Suites bornées et non bornées

On veut décrire le comportement d’une suite quand nnn​ tend vers l’infini. Une suite est bornée lorsque ses termes ne dépassent jamais une certaine valeur. 


Bornée vers le haut ou vers le bas 

BORNÉE VERS LE HAUT

​bhaut≥anb_{haut}\geq a_nbhaut​≥an​​​

Les termes de la suite ne dépassent jamais la valeur bhaut.b_{haut}.bhaut​.​

BORNÉE VERS LE BAS

​bbas≤anb_{bas}\le a_nbbas​≤an​​​

Les termes de la suite ne dépassent jamais la valeur bbasb_{bas}bbas​​

​

Limites

Définition

La limite est la valeur dont les termes s’approchent lorsqu’on laisse l’index nnn​ tendre vers l’infini. 


LIMITES POSSIBLES

En cas de convergence :

  • la limite est un nombre (par exemple 000​, 111​ ou −1-1−1​).

En cas de divergence :

  • la limite est infinie (∞\infty∞​ ou −∞-\infty−∞​);
  • n’a pas de valeur définie.

Quand une suite est

  • croissante et bornée vers le haut,
  • décroissante et bornée vers le bas,

elle est convergente.
Mathématiques; Suites; 2e Collège; Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

​

Calculer la limite

Pour les suites explicites.


MÉTHODE

1.

Prends la limite en utilisant la définition de la suite : g=lim⁡n→∞ang=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}g=n→∞lim​an​​

2.

Calcule la valeur de  an\ a_n an​​ pour n→∞n\rightarrow\inftyn→∞​: Remplace nnn​ par ∞\infty∞​ et calcule avec ∞\infty∞​.


Conseil 1:  Si tu obtiens ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​​, 00 \frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}\ 00​ ​ ou ∞⋅0\infty\cdot\mathbf{0}∞⋅0​, il faut transformer l’expression.

Conseil 2: C’est souvent utile de mettre n\mathbf{n}n​  en évidence pour les fractions.


Exemple

Limite de an=8n2+412n2a_n=\frac{8n^2+4}{12n^2}an​=12n28n2+4​


Prends la limite :

g=lim⁡n→∞8n2+412n2=8∞2+412∞2≈∞∞g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{8n^2+4}{12n^2}}=\frac{8\infty^2+4}{12\infty^2}\approx\frac{\infty}{\infty}g=n→∞lim​12n28n2+4​=12∞28∞2+4​≈∞∞​​​


Transforme l’expression :

lim⁡n→∞8n2+412n2=lim⁡n→∞n2(8+4n2)12n2⏟exclure n2 et reduire=lim⁡n→∞8+4n212=8+4∞212≈8+012=812=23\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{8n^2+4}{12n^2}}=\lim\limits_{n→∞}\underbrace{\frac{n^2(8+4n^2)}{12n^2}}_{exclure\ n^2\ et\ reduire}=\lim\limits_{n→∞}\frac{8+4n^2}{12}=\frac{8+\frac{4}{∞^2}}{12}≈\frac{8+0}{12}=\frac{8}{12}=\frac23n→∞lim​12n28n2+4​=n→∞lim​exclure n2 et reduire12n2n2(8+4n2)​​​=n→∞lim​128+4n2​=128+∞24​​≈128+0​=128​=32​​​



Théorème sur les limites

Les limites respectent les règles suivantes :


Addition / Soustraction de suites

​lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn=ga±gb\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(a_n\pm b_n\right)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}\pm\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}=g_a\pm g_bn→∞lim​(an​±bn​)=n→∞lim​an​±n→∞lim​bn​=ga​±gb​​​

Multiplication de suites

​lim⁡n→∞(an⋅bn)=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn=ga⋅gb\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(a_n\cdot b_n\right)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}=g_a\cdot g_bn→∞lim​(an​⋅bn​)=n→∞lim​an​⋅n→∞lim​bn​=ga​⋅gb​​​

Division de suites

​lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn=gagb\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}}=\frac{g_a}{g_b}n→∞lim​bn​an​​=n→∞lim​bn​n→∞lim​an​​=gb​ga​​​​




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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:

Ceci est la leçon dans laquelle vous vous trouvez actuellement et l'objectif du parcours.

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Unité 1

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Test final

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que la limite ?

La limite est la valeur dont les termes s'approchent lorsqu'on laisse l'indice n tendre vers l'infini.

Qu'est-ce que la monotonie ?

Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Qu'est-ce qu'une suite bornée ?

On veut décrire le comportement d'une suite quand n tend vers l'infini. Une suite est bornée lorsque ses termes ne dépassent jamais une certaine valeur.

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