L'intégration par substitution 

Une substitution est un changement de variable. La substitution est applicable lorsqu’on reconnaît que l’intégrale est constituée de deux fonctions imbriquées. La substitution fonctionne comme l’inversion de la règle de la chaîne pour les dérivées.

Formule

$$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$$​​

MÉTHODE

Conseil : Pour les intégrales indéfinies : remplace le $$z$$​ après l’intégration avec le terme choisi pour $$z$$​.

Exemple 1 – Intégrale définie avec racine

$$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot\left(3x+1\right)dx}=$$​​

Substitution (terme sous le radical) 

$$z=3x^2+2x-1$$​​

Dérivée par rapport à $$x$$​ :

$$\frac{dz}{dx}=6x+2$$​​

Transforme :

$$dx=\frac{dz}{6x+2}$$​​

Reforme l’intégrale en ajustant les bornes et simplifie :

$$\int_{3\cdot 2^2+2\cdot2-1}^{3\cdot3^2+2\cdot3-1}{\sqrt z\cdot\left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot\frac{1}{2}\ dz}$$​​

Intégration par rapport à $$z$$​ :

$$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$$​​

Calcule :

$$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot{32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot{15}^\frac{3}{2}\right)\approx40.97$$​​

Exemple 2 – Intégrale indéfinie avec fraction et racine 

$$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$$​​

Substitution (terme sous le radical) :

$$z=x^2+1$$​​

Dérivée :

$$\frac{dz}{dx}=2x$$​​

Transforme :

$$dx=\frac{dz}{2x}$$​​

Reforme l’intégrale :

$$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot\frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$$​​

Intégration par rapport $$z$$​ :

$$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}$$​​

Remplace $$z$$​ :

$$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}=2\sqrt{x^2+1}$$​​

On écrit donc :

$$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=2\sqrt{x^2+1}+c$$