L'intégration par substitution

Une substitution est un changement de variable. La substitution est applicable lorsqu’on reconnaît que l’intégrale est constituée de deux fonctions imbriquées. La substitution fonctionne comme l’inversion de la règle de la chaîne pour les dérivées.

Formule

$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$

MÉTHODE

1.	Remplace un des termes par $z$ . Conseils : Pour les fractions on remplace souvent le terme au dénominateur. Pour les parenthèses et les racines, on remplace souvent le terme dans les parenthèses respectivement la racine. Pour les puissances on remplace souvent le terme dans l’exposant.
2.	Calcule la « dérivée » de $z$ : $\frac{dz}{dx}=\ \ldots$
3.	Résous en $dx$ : $dx=\ \ldots\ dz$
4.	Reformer l’intégrale : Remplace le terme choisi par $z$ Remplace $dx$ dans l’intégrale par la solution trouvée à l’étape 3. Évalue le terme choisi aux bornes. Conseil : Il ne devrait plus y avoir de $x$ dans l’intégrale.
5.	Intègre par rapport à $z$ .

Conseil : Pour les intégrales indéfinies : remplace le $z$ après l’intégration avec le terme choisi pour $z$ .

Exemple 1 – Intégrale définie avec racine

$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot\left(3x+1\right)dx}=$ 

Substitution (terme sous le radical)

$z=3x^2+2x-1$ 

Dérivée par rapport à $x$ :

$\frac{dz}{dx}=6x+2$ 

Transforme :

$dx=\frac{dz}{6x+2}$ 

Reforme l’intégrale en ajustant les bornes et simplifie :

$\int_{3\cdot 2^2+2\cdot2-1}^{3\cdot3^2+2\cdot3-1}{\sqrt z\cdot\left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot\frac{1}{2}\ dz}$ 

Intégration par rapport à $z$ :

$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$ 

Calcule :

$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot{32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot{15}^\frac{3}{2}\right)\approx40.97$ 

Exemple 2 – Intégrale indéfinie avec fraction et racine

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ 

Substitution (terme sous le radical) :

$z=x^2+1$ 

Dérivée :

$\frac{dz}{dx}=2x$ 

Transforme :

$dx=\frac{dz}{2x}$ 

Reforme l’intégrale :

$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot\frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$ 

Intégration par rapport $z$ :

$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}$ 

Remplace $z$ :

$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}=2\sqrt{x^2+1}$ 

On écrit donc :

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=2\sqrt{x^2+1}+c$