Calcul matriciel - Règles de calculs

Addition et soustraction

Pour que deux matrices puissent être additionnées ou soustraites, il faut qu’elles aient la même dimension.

ADDITION

de deux matrices

Additionne les coefficients qui sont à la même place.

$A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{matrix}\right)$

SOUSTRACTION

de deux matrices

Soustrais les coefficients qui sont à la même place.

$A-B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\\\end{matrix}\right)$

Exemple – Addition

$\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)$

Multiplication scalaire - Nombre et matrice

On multiplie une matrice avec un nombre réel parfois entier. Par exemple si ce nombre est décimal est inférieur à zéro, tous les coefficients seront réduits. Dans tous les cas on obtient une matrice avec la même dimension qu’au départ.

Conditions

Le nombre par lequel on multiplie est arbitraire et la matrice peut être de toutes les dimensions possibles.

MÉTHODE

Tous les coefficients de la matrice sont individuellement multipliés par $r\in\mathbb{R}$ :

$r\cdot A=r\cdot\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_{11}&r\cdot a_{12}\\r\cdot a_{21}&r\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right)$

Exemple – multiplication d’un nombre et d’une matrice

$2\cdot\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot3&2\cdot5\\2\cdot(-1)&2\cdot4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)$ 

Multiplication - Matrice et vecteur

Lorsqu’on multiplie une matrice avec un vecteur, on obtient un vecteur transformé. Le nouveau vecteur a le même nombre de coefficients que la matrice a de lignes. Dans ce contexte, on appelle la matrice « application linéaire ».

Conditions

Le nombre de colonnes de la matrice doit correspondre au nombre de coefficients du vecteur.

MÉTHODE

1.	Multiplie les coefficients de la ligne $i$ de la matrice $A$ un à un avec les coefficients $\overrightarrow v$ .
2.	Additionne tous les produits.
3.	Écris le résultat à la ligne $i$ du nouveau vecteur $\overrightarrow w$ .

$A\cdot\overrightarrow v = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2+a_{13}\cdot v_3\\a_{21}\cdot v_1+a_{22}\cdot v_2+a_{23}\cdot v_3\end{pmatrix}=\overrightarrow w$

Remarque : Un vecteur n’est rien d’autre qu’une matrice de dimension $m\times1$ . Le produit d’une matrice et d’un vecteur est donc un cas spécial du produit matriciel.

Exemple – Produit d’une matrice et d’un vecteur

$\left(\begin{matrix}2&3&-3\\4&-1&5\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+3\cdot(-2)+(-3)\cdot4\\4\cdot1+(-1)\cdot(-2)+5\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-16\\26\end{pmatrix}$

Multiplication - Produit matriciel

Lorsqu’on multiplie deux matrices, on obtient une nouvelle matrice. Le nombre de lignes de la nouvelle matrice correspond au nombre de lignes de la matrice de gauche, et le nombre de colonnes à celui de la matrice de droite.

Conditions

Le nombre de colonnes de la première matrice doit correspondre au nombre de lignes de la seconde.

Méthode

1.	Multiplie les coefficients de la première ligne de la matrice $A$ un à un avec les coefficients de la première colonne de $B.$
2.	Additionne tous les produits.
3.	On obtient le coefficient de la première ligne et la première colonne de $C$ .
4.	Répète les étapes une et deux avec la deuxième ligne de $A$ et la première colonne de $B$ . Le résultat est le coefficient de la deuxième ligne et la première colonne de $C$ .
5.	Continue jusqu’à avoir multiplié toutes les lignes de $A$ avec la première colonne de $B$ puis repars de la première ligne de A et multiplie-la avec la deuxième colonne de $B.$ Le résultat est le coefficient de la première ligne et la deuxième colonne de $C$ .
6.	Continue ainsi de suite jusqu’à avoir multiplié toutes les lignes de $A$ avec toutes les colonnes de $B$ .

Mathématiquement cela peut être exprimé comme ceci : Multiplie les coefficients de la ligne $i$ de la matrice $A$ un par un avec les coefficients de la colonne $j$ de la matrice $B$ , additionne-les et écris le résultat à la position $c_{ij}$ de la nouvelle matrice $C$ .

$A\cdot B=C$

$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\\end{matrix}\right)$

Exemple - Multiplication matrice et matrice

$\left(\begin{matrix}3&2&1\\5&-2&6\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\\-2&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\cdot2+2\cdot5+1\cdot\left(-2\right)&3\cdot1+2\cdot2+1\cdot\left(-1\right)\\5\cdot2+\left(-2\right)\cdot5+6\cdot\left(-2\right)&5\cdot1+\left(-2\right)\cdot2+6\cdot\left(-1\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14&6\\-12&-5\\\end{matrix}\right)$

Règles de calcul

Les règles suivantes s’appliquent au calcul matriciel (où $A$ , $B$ et $C$ sont des matrices, $\overrightarrow v$ et $\overrightarrow w$ des vecteurs, et $r$ et $s$ des nombres réels).

Addition et soustraction

$A+B=B+A$	commutatif	Les matrices peuvent d’être additionnées dans un sens ou dans l’autre.
$(A+B)+C=A+(B+C)$	associatif	L’ordre dans lequel on effectue l’addition ne joue pas de rôle.
$A+0_{nm}=A$	élément neutre	Lorsqu’on additionne la matrice nulle, rien ne change.

Multiplication scalaire

$\left(r+s\right)\cdot A=r\cdot A+s\cdot A$	distributif	La multiplication par une somme de scalaires se distribue comme écrit.
$r\cdot(A+B)=r\cdot A+r\cdot B$	distributif	La multiplication scalaire d’une somme de matrices se distribue comme écrit.

Matrice et vecteur

$A\cdot(\overrightarrow v + \overrightarrow w ) = A\cdot \overrightarrow v + A \cdot\overrightarrow w$	distributif	Lorsqu’on multiplie une matrice et une somme de vecteur, on peut distribuer la multiplication par la matrice comme écrit.
$(A+B)\cdot \overrightarrow v = A\cdot \overrightarrow v + B \cdot\overrightarrow v$	distributif	Lorsqu’on multiplie une somme de matrices et un vecteur, on peut distribuer la multiplication du vecteur comme écrit.

Produit matriciel

$A\cdot B\neq B\cdot A$	pas commutatif	On ne peut pas invertir les matrices dans un produit matriciel.
$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)$	associatif	L’ordre dans lequel on effectue la multiplication ne joue pas de rôle (mais l’ordres des matrices oui).
$A\cdot E_n=E_n\cdot A=A$	élément neutre	Lorsqu’on multiplie une matrice avec la matrice identité, rien ne change.
$A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C\\(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$	distributif	On peut distribuer la multiplication d’une somme comme écrit.