Calcul matriciel - Règles de calculs

Addition et soustraction

Pour que deux matrices puissent être additionnées ou soustraites, il faut qu’elles aient la même dimension.

Exemple – Addition

$$\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplication scalaire - Nombre et matrice

On multiplie une matrice avec un nombre réel parfois entier. Par exemple si ce nombre est décimal est inférieur à zéro, tous les coefficients seront réduits. Dans tous les cas on obtient une matrice avec la même dimension qu’au départ.

Conditions

Le nombre par lequel on multiplie est arbitraire et la matrice peut être de toutes les dimensions possibles.

MÉTHODE

Tous les coefficients de la matrice sont individuellement multipliés par $$r\in\mathbb{R}$$​ :

$$r\cdot A=r\cdot\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_{11}&r\cdot a_{12}\\r\cdot a_{21}&r\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right)$$​​

Exemple – multiplication d’un nombre et d’une matrice

$$2\cdot\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot3&2\cdot5\\2\cdot(-1)&2\cdot4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplication - Matrice et vecteur

Lorsqu’on multiplie une matrice avec un vecteur, on obtient un vecteur transformé. Le nouveau vecteur a le même nombre de coefficients que la matrice a de lignes. Dans ce contexte, on appelle la matrice « application linéaire ».

Conditions

Le nombre de colonnes de la matrice doit correspondre au nombre de coefficients du vecteur.

MÉTHODE

$$A\cdot\overrightarrow v = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2+a_{13}\cdot v_3\\a_{21}\cdot v_1+a_{22}\cdot v_2+a_{23}\cdot v_3\end{pmatrix}=\overrightarrow w$$​​

Remarque : Un vecteur n’est rien d’autre qu’une matrice de dimension $$m\times1$$​. Le produit d’une matrice et d’un vecteur est donc un cas spécial du produit matriciel.

Exemple – Produit d’une matrice et d’un vecteur

$$\left(\begin{matrix}2&3&-3\\4&-1&5\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+3\cdot(-2)+(-3)\cdot4\\4\cdot1+(-1)\cdot(-2)+5\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-16\\26\end{pmatrix}$$​​

Multiplication - Produit matriciel

Lorsqu’on multiplie deux matrices, on obtient une nouvelle matrice. Le nombre de lignes de la nouvelle matrice correspond au nombre de lignes de la matrice de gauche, et le nombre de colonnes à celui de la matrice de droite.

Conditions

Le nombre de colonnes de la première matrice doit correspondre au nombre de lignes de la seconde.

Méthode

Mathématiquement cela peut être exprimé comme ceci : Multiplie les coefficients de la ligne $$i$$​ de la matrice $$A$$​ un par un avec les coefficients de la colonne $$j$$​ de la matrice $$B$$​, additionne-les et écris le résultat à la position $$c_{ij}$$​ de la nouvelle matrice $$C$$​.

$$A\cdot B=C$$​​

$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\\end{matrix}\right)$$​​

Exemple - Multiplication matrice et matrice

$$\left(\begin{matrix}3&2&1\\5&-2&6\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\\-2&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\cdot2+2\cdot5+1\cdot\left(-2\right)&3\cdot1+2\cdot2+1\cdot\left(-1\right)\\5\cdot2+\left(-2\right)\cdot5+6\cdot\left(-2\right)&5\cdot1+\left(-2\right)\cdot2+6\cdot\left(-1\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14&6\\-12&-5\\\end{matrix}\right)$$​​

Règles de calcul

Les règles suivantes s’appliquent au calcul matriciel (où $$A$$​, $$B$$​ et $$C$$​ sont des matrices, $$\overrightarrow v$$​  et $$\overrightarrow w$$​ des vecteurs, et $$r$$​ et $$s$$​ des nombres réels). 

Addition et soustraction

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Multiplication scalaire

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Matrice et vecteur

​

Produit matriciel