Distribution

Définition

Une « distribution » est une fonction qui décrit la distribution d’une variable aléatoire $X$ . On examine la probabilité avec laquelle une variable aléatoire prend certaines valeurs et comment cette probabilité est répartie en fonction des valeurs.

Exemple

Un dé est lancé 100 fois. Combien de fois chaque chiffre apparaît-il ? La distribution décrit la répartition des résultats, et elle peut être utilisée pour estimer le nombre de 6 obtenus par exemple.

Variable aléatoire

La variable aléatoire indique les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

On la représente par la fonction $X$ , qui attribue un nombre réel $X(\omega)$ à chaque résultat $\omega$ d’une expérience aléatoire.

Remarque : Pour la définition de variables aléatoires, on utilise généralement des lettres majuscules, par exemple $X$ , $Y$ et $Z$ .

Types de distributions

Distributions discrètes et continues

DISCRÈTE	Les valeurs possibles pour la variable aléatoire sont des points séparés (exemple : les nombres entiers).
CONTINUE	Les valeurs possibles pour la variable aléatoire forment un « spectre » (exemple : les nombres réels entre 0 et 1).

Distribution discrète

Une distribution discrète est basée sur des variables aléatoires discrètes.

Exemple

Le résultat d’un lancer de dé est une variable aléatoire discrète car elle ne peut prendre que six valeurs : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Fonction de masse

La fonction de masse indique la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur $x$ .

$f\left(x\right)=P(X=x)$

Fonction de répartition

La fonction de répartition indique la probabilité que la variable aléatoire ait une valeur inférieure ou égale à $x$ .

$F\left(x\right)=P(X\le x)$

La fonction de répartition est composée de la somme des valeurs de la fonction de masse jusqu’à $x$ .

Exemple

On lance quatre fois un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d’avoir un 4 au moins trois fois ?

$X=nombre\ de\ 4$

$\underbrace{P\left(X\geq3\right)}_{Fonction\ de\ r\acute{e}partition}=\underbrace{P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)}_{Fonctions\ de\ masse}={\left(\begin{matrix}4\\3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^1+{\left(\begin{matrix}4\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)}^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^0=0.0162=1.62\%$

Distribution continue

Une distribution continue est basée sur des variables aléatoires continues.

Exemple

La hauteur du niveau d’eau dans une bouteille est une variable aléatoire continue : elle peut prendre une infinité de valeurs.

Fonction de densité

La fonction de densité décrit la distribution de probabilité de la variable aléatoire. La probabilité est obtenue en calculant l’aire sous la fonction de densité (en utilisant l’intégration).

Propriétés

Propriétés d’une fonction de densité $\ f(x)$ :

La fonction de densité n’est jamais inférieure à zéro, mais peut avoir des valeurs supérieures à un.
$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

Fonction de répartition

La fonction de répartition est obtenue en intégrant la fonction de densité jusqu’à la valeur $x$ .

$P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f\left(t\right)dt$

Probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à $x$ .

Probabilité pour un intervalle (de $a$ à $b$ ) de $X$ :

$P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt$

Lois de probabilité typiques et fonction de masse

Distributions discrètes

Loi	Description	Fonction de masse
LOI BINOMIALE	Probabilité d’avoir $k$ succès parmi $n$ essais	$P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot{(1-p)}^{n-k}$
LOI GÉOMÉTRIQUE	Probabilité que l’essai $n$ soit le premier succès	$P\left(X=n\right)={(1-p)}^{n-1}\cdot p$
LOI DE POISSON	Probabilité d’observer exactement $k$ occurrences d’un événement sachant que sa fréquence moyenne est de $\mu$	$P\left(X=k\right)=\frac{\mu^k}{k!}\cdot e^{-\mu}$
LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE	Probabilité d’avoir $k$ succès parmi essais quandon sait qu’il y a exactement $M$ cas à succès parmi les $N$ cas possibles	$P\left(X=k\right)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Les expériences aléatoires pour les trois premières lois sont des expériences de Bernoulli.

On ne distingue toujours que deux événements possibles (Pile/Face lors d’un lancer de pièce, ou 6/pas 6 lors d’un lancer de dé).
La probabilité ne change pas lorsque l’expérience est répétée.

Distributions continues

Loi	Description	Fonction de densité
LOI NORMALE	Distribution symétrique	$f\left(x,\ \mu,\ \sigma^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
LOI NORMALE STANDARD	Cas particulier de la loi normale avec $\mu=0$ et $\sigma=1$	$f\left(x,\ 0,\ 1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$

Conseil : Pour calculer la fonction de répartition on a souvent besoin d’une calculatrice.