Une « distribution » est une fonction qui décrit la distribution d’une variable aléatoireX. On examine la probabilité avec laquelle une variable aléatoire prend certaines valeurs et comment cette probabilité est répartie en fonction des valeurs.
Exemple
Un dé est lancé 100 fois. Combien de fois chaque chiffre apparaît-il? La distribution décrit la répartition des résultats, et elle peut être utilisée pour estimer le nombre de 6 obtenus par exemple.
Variable aléatoire
La variable aléatoire indique les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
On la représente par la fonctionX, qui attribue un nombre réelX(ω)à chaque résultatωd’une expérience aléatoire.
Remarque : Pour la définition de variables aléatoires, on utilise généralement des lettres majuscules, par exemple X, Y et Z.
Types de distributions
Distributions discrètes et continues
DISCRÈTE
Les valeurs possibles pour la variable aléatoire sont des points séparés (exemple: les nombres entiers).
CONTINUE
Les valeurs possibles pour la variable aléatoire forment un «spectre» (exemple: les nombres réels entre 0 et 1).
Distribution discrète
Une distribution discrète est basée sur des variables aléatoires discrètes.
Exemple
Le résultat d’un lancer de dé est une variable aléatoire discrète car elle ne peut prendre que six valeurs: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Fonction de masse
La fonction de masse indique la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeurx.
f(x)=P(X=x)
Fonction de répartition
La fonction de répartition indique la probabilité que la variable aléatoire ait une valeur inférieure ou égale àx.
F(x)=P(X≤x)
La fonction de répartition est composée de la somme des valeurs de la fonction de masse jusqu’àx.
Exemple
On lance quatre fois un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d’avoir un 4 au moins trois fois ?
Une distribution continue est basée sur des variables aléatoires continues.
Exemple
La hauteur du niveau d’eau dans une bouteille est une variable aléatoire continue: elle peut prendre une infinité de valeurs.
Fonction de densité
La fonction de densité décrit la distribution de probabilité de la variable aléatoire. La probabilité est obtenue en calculant l’aire sous la fonction de densité (en utilisant l’intégration).
Propriétés
Propriétés d’une fonction de densitéf(x):
La fonction de densité n’est jamais inférieure à zéro, mais peut avoir des valeurs supérieures à un.
∫−∞∞f(x)dx=1
Fonction de répartition
La fonction de répartition est obtenue en intégrant la fonction de densité jusqu’à la valeurx.
P(X≤x)=∫−∞xf(t)dt
Probabilité que la variable aléatoireXprenne une valeur inférieure ou égale àx.
Probabilité pour un intervalle (deaàb) deX:
P(a≤X≤b)=∫abf(t)dt
Lois de probabilité typiques et fonction de masse
Distributions discrètes
Loi
Description
Fonction de masse
LOI BINOMIALE
Probabilité d’avoirksuccès parmi nessais
P(X=k)=(kn)⋅pk⋅(1−p)n−k
LOI GÉOMÉTRIQUE
Probabilité que l’essainsoit le premier succès
P(X=n)=(1−p)n−1⋅p
LOI DE POISSON
Probabilité d’observer exactementkoccurrences d’un événement sachant que sa fréquence moyenne est deμ
P(X=k)=k!μk⋅e−μ
LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE
Probabilité d’avoirksuccès parmiessais quandon sait qu’il y a exactementMcas à succès parmi lesNcas possibles
P(X=k)=(nN)(kM)(n−kN−M)
Les expériences aléatoires pour les trois premières lois sont des expériences de Bernoulli.
On ne distingue toujours que deux événements possibles (Pile/Face lors d’un lancer de pièce, ou 6/pas 6 lors d’un lancer de dé).
La probabilité ne change pas lorsque l’expérience est répétée.
Distributions continues
Loi
Description
Fonction de densité
LOI NORMALE
Distribution symétrique
f(x,μ,σ2)=2πσ1⋅e−21(σx−μ)2
LOI NORMALE STANDARD
Cas particulier de la loi normale avecμ=0etσ=1
f(x,0,1)=2π1⋅e−21x2
Conseil : Pour calculer la fonction de répartition on a souvent besoin d’une calculatrice.
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Apprenez avec les Bases
Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
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Unité 1
Aperçu sur les distributions
Test final
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Quels sont les types de distribution existants ?
Il existe deux types de distribution :
- la distribution discrète : les valeurs possibles pour la variable aléatoire sont des points séparés (ex. nombres entiers)
- la distribution continue : les valeurs possibles pour la variable aléatoire forment un "spectre" (ex. nombres réels entre 0 et 1)
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
La variable aléatoire indique les résultats possibles d'une expérience aléatoire. On la représente par la fonction X.
Qu'est-ce que la distribution ?
Une "distribution" est une fonction qui décrite la distribution d'une variable aléatoire X.
