Modèle binaire - Astuce pour la formule

Définition

Les modèles binaires sont les problèmes combinatoires dans lesquels tous les éléments ne peuvent prendre que deux formes (éléments binaires), par exemple :

zéro / un
noir / blanc
face visible / face cachée
occupé / non occupé
etc.

Astuce pour la formule

Si on cherche le nombre de possibilités de choisir $k$ parmi $n$ éléments différents, on peut utiliser la formule de combinaison sans répétition :

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$	$n$ : nombre total d’éléments
	$k$ : nombre d’éléments choisis

Exemple

Un questionnaire contient 30 questions. Dans un examen, 10 des questions sont posées.

Combien d’examens sont possibles ?

Toutes les questions sont différentes. Soit une question est choisie soit elle ne l’est pas.

Le modèle binaire est applicable.

$n$ : nombre total de questions : $n=30$

$k$ : nombre de questions choisies : $k=10$

Calcul :

$\binom{30}{10}=\frac{30!}{10!\cdot\left(30-10\right)!}=\underline{30\ 045\ 015}$