Modèle binaire - Astuce pour la formule

Définition

Les modèles binaires sont les problèmes combinatoires dans lesquels tous les éléments ne peuvent prendre que deux formes (éléments binaires), par exemple :

• zéro / un
  
• noir / blanc
  
• face visible / face cachée
  
• occupé / non occupé
  
• etc.
  

Astuce pour la formule

Si on cherche le nombre de possibilités de choisir $$k$$​ parmi $$n$$​ éléments différents, on peut utiliser la formule de combinaison sans répétition :

Exemple 

Un questionnaire contient 30 questions. Dans un examen, 10 des questions sont posées.

Combien d’examens sont possibles ?

Toutes les questions sont différentes. Soit une question est choisie soit elle ne l’est pas.

Le modèle binaire est applicable.

$$n$$​ : nombre total de questions : $$n=30$$​

$$k$$​ : nombre de questions choisies : $$k=10$$​

Calcul :

$$\binom{30}{10}=\frac{30!}{10!\cdot\left(30-10\right)!}=\underline{30\ 045\ 015}$$​​