Règles de dérivation Les règles suivantes peuvent être utilisées pour former la dérivée de fonctions composées.
Règle du produit On utilise la règle du produit pour dériver un produit de fonctions.
RÈGLE Fonction f ( x ) \ f\left(x\right) f ( x )
Dérivée f ′ ( x ) \ f'\left(x\right) f ′ ( x )
u ( x ) ⋅ v ( x ) u\left(x\right)\cdot v\left(x\right) u ( x ) ⋅ v ( x )
u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) ⏟ p r e m i e ˋ r e f o n c t i o n d e ˊ r i v e ˊ e + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) ⏟ d e u x i e ˋ m e f o n c t i o n d e ˊ r i v e ˊ e \underbrace{u'(x)\cdot v(x)}_{première\ fonction\ dérivée}+\underbrace {u(x)\cdot v'(x)}_{deuxième\ fonction\ dérivée} p re mi e ˋ re f o n c t i o n d e ˊ r i v e ˊ e u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + d e ux i e ˋ m e f o n c t i o n d e ˊ r i v e ˊ e u ( x ) ⋅ v ′ ( x )
MÉTHODE POUR LA DÉRIVATION 1.
Dérive les fonctions multipliées séparément.
2.
Assemble les fonctions et leurs dérivées selon la règle.
3.
Simplifie le terme autant que possible.
Conseil : Pour les fonctions avec e x e^x e x on peut généralement factoriser e x e^x e x .
Exemple f ( x ) = ( x 3 − 1 ) ⋅ ( 2 x 5 + 1 ) f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right) f ( x ) = ( x 3 − 1 ) ⋅ ( 2 x 5 + 1 )
Dériver les fonctions individuellement :
Fonctions
Dérivée
u ( x ) = u\left(x\right)= u ( x ) =
x 3 − 1 x^3-1 x 3 − 1
u ′ ( x ) = u'\left(x\right)= u ′ ( x ) =
3 x 2 3x^2 3 x 2
v ( x ) = v\left(x\right)= v ( x ) =
2 x 5 + 1 2x^5+1 2 x 5 + 1
v ′ ( x ) = v'\left(x\right)= v ′ ( x ) =
10 x 4 10x^4 10 x 4
Assemblage selon la règle :
f ′ ( x ) = 3 x 2 ⋅ ( 2 x 5 + 1 ) + ( x 3 − 1 ) ⋅ 10 x 4 f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot\left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot10x^4 f ′ ( x ) = 3 x 2 ⋅ ( 2 x 5 + 1 ) + ( x 3 − 1 ) ⋅ 10 x 4
Calculer et simplifier :
= 6 x 7 + 3 x 2 + 10 x 7 − 10 x 4 = 16 x 7 − 10 x 4 + 3 x 2 =6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=16x^7-10x^4+3x^2 = 6 x 7 + 3 x 2 + 10 x 7 − 10 x 4 = 16 x 7 − 10 x 4 + 3 x 2
Plus que deux fonctions On peut également utiliser la règle du produit lorsqu’on multiplie plus de deux fonctions :
Fonction f ( x ) \ f\left(x\right) f ( x )
Dérivée f ′ ( x ) f'\left(x\right) f ′ ( x )
u ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ w ( x ) u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right) u ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ w ( x )
u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ w ( x ) ⏟ l a p r e m i e ˋ r e e s t d e ˊ r i v e ˊ e + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) ⋅ w ( x ) ⏟ l a d e u x i e ˋ m e e s t d e ˊ r i v e ˊ e + u ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ w ′ ( x ) ⏟ l a t r o i s i e ˋ m e e s t d e ˊ r i v e ˊ e \underbrace{u'(x)\cdot v(x)\cdot w(x)}_{la\ première\ est\ dérivée}+\underbrace{u(x)\cdot v'(x)\cdot w(x)}_{la\ deuxième\ est\ dérivée}+\underbrace{u(x)\cdot v(x)\cdot w'(x)}_{la\ troisième\ est\ dérivée} l a p re mi e ˋ re es t d e ˊ r i v e ˊ e u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ w ( x ) + l a d e ux i e ˋ m e es t d e ˊ r i v e ˊ e u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) ⋅ w ( x ) + l a t ro i s i e ˋ m e es t d e ˊ r i v e ˊ e u ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ w ′ ( x )
Règle de la chaîne On utilise la règle de la chaîne quand les fonctions sont composées c’est-à-dire quand une fonction englobe une autre fonction.
RÈGLE Fonction f ( x ) \ f\left(x\right) f ( x )
Dérivée f ′ ( x ) f'\left(x\right) f ′ ( x )
u ( v ( x ) ) u\left(v\left(x\right)\right) u ( v ( x ) )
u ′ ( v x ) ⏟ D e ˊ r i v e ˊ e e x t e ˊ r i e u r e ⋅ v ′ ( x ) ⏟ D e ˊ r i v e ˊ e i n t e ˊ r i e u r e \underbrace{u'(vx)}_{Dérivée\ extérieure}\cdot \underbrace{v'(x)}_{Dérivée\ intérieure} D e ˊ r i v e ˊ e e x t e ˊ r i e u re u ′ ( vx ) ⋅ D e ˊ r i v e ˊ e in t e ˊ r i e u re v ′ ( x )
MÉTHODE POUR LA DÉRIVATION 1.
Dérive la fonction extérieure u ( x ) u\left(x\right) u ( x ) et la fonction intérieure v ( x ) v\left(x\right) v ( x ) individuellement.
Conseil pour la fonction extérieure : Écris un x x x à la place de la fonction intérieure. Puis dérive.
2.
Assemble les fonctions et leurs dérivées selon la règle.
Conseil pour la dérivée de la fonction extérieure : Écris la fonction intérieure (pas dérivée) à la place du x x x
3.
Simplifie le terme autant que possible.
Exemple
f ( x ) = ( x 2 − 3 ) 3 f\left(x\right)=\left(x^2-3\right)^3 f ( x ) = ( x 2 − 3 ) 3
Dérive les fonctions individuellement :
Fonctions
Dérivée
Extérieure
u ( x ) = u\left(x\right)= u ( x ) =
x 3 x^3 x 3
u ′ ( x ) = u'\left(x\right)= u ′ ( x ) =
3 x 2 3x^2 3 x 2
Intérieure
v ( x ) = v\left(x\right)= v ( x ) =
x 2 − 3 x^2-3 x 2 − 3
v ′ ( x ) = v'\left(x\right)= v ′ ( x ) =
2 x 2x 2 x
Assemblage selon la règle :
f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( x 2 − 3 ) 2 ⏟ u ′ ( v ( x ) ) ⋅ 2 x ⏟ v ′ ( x ) f'\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot\left(x^2-3\right)}^2}_{u'(v\left(x\right))}\cdot\underbrace{2x}_{v'(x)} f ′ ( x ) = u ′ ( v ( x ) ) 3 ⋅ ( x 2 − 3 ) 2 ⋅ v ′ ( x ) 2 x
Calcule et simplifie :
= 6 x ⋅ ( x 2 − 3 ) 2 ={6x\cdot\left(x^2-3\right)}^2 = 6 x ⋅ ( x 2 − 3 ) 2
Règle du quotient On utilise la règle du quotient lorsque les fonctions sont dans une fraction (divisées).
RÈGLE Fonction f ( x ) \ f\left(x\right) f ( x )
Dérivée f ′ ( x ) \ f'\left(x\right) f ′ ( x )
n ( x ) d ( x ) \frac{n\left(x\right)}{d\left(x\right)} d ( x ) n ( x )
n ′ ( x ) ⋅ d ( x ) − n ( x ) ⋅ d ′ ( x ) ( d ( x ) ) 2 \frac{n^\prime\left(x\right)\cdot d\left(x\right)-n\left(x\right)\cdot d\prime\left(x\right)}{\left(d\left(x\right)\right)^2} ( d ( x ) ) 2 n ′ ( x ) ⋅ d ( x ) − n ( x ) ⋅ d ′ ( x )
MÉTHODE POUR LA DÉRIVATION 1.
Dérive la fonction dans le numérateur n ( x ) n\left(x\right) n ( x ) et la fonction dans le dénominateur d ( x ) d\left(x\right) d ( x )
2.
Assemble les fonctions et leurs dérivées selon la règle.
3.
Simplifie autant que possible.
Conseil : Essaye de factoriser le numérateur. On peut souvent réduire.
Exemple f ( x ) = x 3 + 2 2 x 2 f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2} f ( x ) = 2 x 2 x 3 + 2
Dérive les fonctions individuellement :
Fonctions
Dérivée
n ( x ) = n\left(x\right)= n ( x ) =
x 3 + 2 x^3+2 x 3 + 2
n ′ ( x ) = n'\left(x\right)= n ′ ( x ) =
3 x 2 3x^2 3 x 2
D ( x ) = D\left(x\right)= D ( x ) =
2 x 2 2x^2 2 x 2
d ′ ( x ) = d'\left(x\right)= d ′ ( x ) =
4 x 4x 4 x
Assemblage selon la règle :
f ′ ( x ) = 3 x 2 ⋅ 2 2 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 4 ( 2 x 2 ) 2 f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot2^2-\left(x^3+2\right)\cdot4}{\left(2x^2\right)^2} f ′ ( x ) = ( 2 x 2 ) 2 3 x 2 ⋅ 2 2 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 4
Calcule et simplifie :
= 6 x 4 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 4 x 4 x 4 =\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot4 x}{4x^4} = 4 x 4 6 x 4 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 4 x
Factorise et réduis :
= 2 x ( 3 x 3 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 2 ) 4 x 4 = 3 x 3 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 2 2 x 3 = 3 x 3 − 2 x 3 − 4 2 x 3 =\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3} = 4 x 4 2 x ( 3 x 3 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 2 ) = 2 x 3 3 x 3 − ( x 3 + 2 ) ⋅ 2 = 2 x 3 3 x 3 − 2 x 3 − 4
Simplifie :
= x 3 − 4 2 x 3 =\frac{x^3-4}{2x^3} = 2 x 3 x 3 − 4
Règles mixtes Souvent, les fonctions sont composées de telle manière qu’on doit appliquer plusieurs règles pour les dériver. Utilise les règles progressivement de l'extérieur à l'intérieur.
Exemple f ( x ) = 3 x ⋅ 7 x 2 + 1 f\left(x\right)=3x\cdot\sqrt{7x^2+1} f ( x ) = 3 x ⋅ 7 x 2 + 1
Etape 1 : Règle du produit
u ( x ) = 3 x u\left(x\right)=3x u ( x ) = 3 x
u ′ ( x ) = 3 u'\left(x\right)=3 u ′ ( x ) = 3
v ( x ) = 7 x 2 + 1 v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1} v ( x ) = 7 x 2 + 1
Fonction composée
Etape 2 : Règle de la chaîne pour v ( x ) = 7 x 2 + 1 = a ( b ( x ) ) v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right)) v ( x ) = 7 x 2 + 1 = a ( b ( x ) )
a ( x ) = x = x 1 2 a\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2} a ( x ) = x = x 2 1
a ′ ( x ) = 1 2 x − 1 2 a'\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} a ′ ( x ) = 2 1 x − 2 1
b ( x ) = 7 x 2 + 1 b\left(x\right)=7x^2+1 b ( x ) = 7 x 2 + 1
b ′ ( x ) = 14 x b'\left(x\right)=14x b ′ ( x ) = 14 x
Applique la règle de la chaîne :
v ′ ( x ) = 1 2 ( 7 x 2 + 1 ) − 1 2 ⋅ 14 x = 7 x ( 7 x 2 + 1 ) − 1 2 = 7 x 7 x 2 + 1 v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}} v ′ ( x ) = 2 1 ( 7 x 2 + 1 ) − 2 1 ⋅ 14 x = 7 x ( 7 x 2 + 1 ) − 2 1 = 7 x 2 + 1 7 x
Applique la règle du produit :
f ′ ( x ) = 3 ⏟ u ′ ( x ) ⋅ 7 x 2 + 1 ⏟ v ( x ) + 3 x ⏟ u ( x ) ⋅ 7 x 7 x 2 + 1 ⏟ v ′ ( x ) f^\prime\left(x\right)=\underbrace{3}_{u\prime(x)}\cdot\underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot\underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v'(x)} f ′ ( x ) = u ′ ( x ) 3 ⋅ v ( x ) 7 x 2 + 1 + u ( x ) 3 x ⋅ v ′ ( x ) 7 x 2 + 1 7 x
Simplifie :
f ′ ( x ) = 3 ⋅ 7 x 2 + 1 ⋅ 7 x 2 + 1 7 x 2 + 1 + 21 x 2 7 x 2 + 1 = 3 ⋅ ( 7 x 2 + 1 ) 7 x 2 + 1 + 21 x 2 7 x 2 + 1 f^\prime\left(x\right)=3\cdot\sqrt{7x^2+1}\cdot\frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\cdot(7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}} f ′ ( x ) = 3 ⋅ 7 x 2 + 1 ⋅ 7 x 2 + 1 7 x 2 + 1 + 7 x 2 + 1 21 x 2 = 7 x 2 + 1 3 ⋅ ( 7 x 2 + 1 ) + 7 x 2 + 1 21 x 2
= 21 x 2 + 3 + 21 x 2 7 x 2 + 1 = 42 x 2 + 3 7 x 2 + 1 =\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}} = 7 x 2 + 1 21 x 2 + 3 + 21 x 2 = 7 x 2 + 1 42 x 2 + 3
