Combinatoire - Factorielle

Définition

Quand il y a un « ! » après un nombre on calcule la factorielle :

$n!$

La factorielle est le produit de tous les nombres naturels qui sont inférieurs ou égaux au nombre devant le « ! ».

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n$

$4!=1\cdot 2\cdot3\cdot4=24\\\\$

$7!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7=5\prime040$

Factorielle de zéro : $0!=1$

Les fractions avec des factorielles peuvent souvent être simplifiées.

Les facteurs des factorielles se réduisent par paires.

$\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=\frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}=n$

\frac{11!}{9!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }=10\cdot11