Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Définitions

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels. Ils sont formés à partir de l’unité imaginaire $$i$$​ et des nombres réels. 

La forme algébrique d’un nombre complexe est $$a+bi$$​, où $$a$$​ et $$b$$​ sont des nombres réels.

Exemples :

L’unité imaginaire $$i$$​ a la propriété de valoir $$-1$$​ lorsqu’elle est élevée au carré :

$$i^2=-1$$​​

Partie réelle et imaginaire

Dans un nombre complexe $$z$$​, le coefficient du $$I$$​ est appelé « partie imaginaire » ($$Im(z)$$​) et le terme ne contenant pas de $$i$$​ est appelé « partie réelle » ($$Re(z))$$​. 

Exemples :

Conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué d’un nombre complexe s’obtient en changeant le signe de la partie imaginaire. On l’écrit le plus souvent à l’aide d’une barre horizontale sur le nombre. 

$$\overline{a+b{i}}=a-bi$$​​

Exemples

Règles de calcul

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des nombres complexes, on traite la partie réelle et la partie imaginaire séparément. La partie réelle du résultat est la somme (ou la différence) des parties réelles ; la partie imaginaire du résultat est la somme (ou la différence) des parties imaginaires.

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$​​

Exemples :

​$$(3+2i)+(4+i)=(3+4)+(2+1)i=7+I\\(3+2i)-(4+i)=(3-4)+(2-1)i=-1+i$$​​

Multiplication 

Pour multiplier deux nombres complexes, on peut considérer l’unité imaginaire comme une variable et utiliser les règles de distributivité. Ensuite, on peut simplifier l’expression en utilisant le fait que $$i^2=-1$$​.

Dérivation de la formule :

$$\left(a+bi\right)\cdot\left(c+di\right)\\=a\cdot c+a\cdot di+bi\cdot c+bdi^2\\=ac+adi+bci-bd\\=(ac-bd)+(ad+bc)i$$​​

Remarque : Le calcul ci-dessus te montre comment la formule de multiplication est obtenue mais tu n’as pas besoin de le retenir par cœur. Le plus important est que tu connaisses la formule suivante :

Exemple : 

Division 

Pour diviser deux nombres complexes, on peut aussi considérer l’unité imaginaire comme une variable. Par convention, on évite d’avoir des  dans le dénominateur. Pour les enlever, on multiplie le haut et le bas de la fraction par le conjugué du dénominateur.

Dérivation de la formule :

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{\bar{c+d\dot{i}}}{\bar{c+d\dot{i}}}\\=\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di}\\=\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2-d^2i^2}\\=\frac{(ac+bd)+(-ad+bc)i}{c^2+d^2}$$​​

Remarque : Tu n’as pas besoin de connaître le calcul de dérivation par cœur. Retiens juste la formule suivante :

Exemple : 

​$$\frac{1+3i}{4+2i}=\frac{(1\cdot4+3\cdot2)+(-1\cdot2+3\cdot4)i}{4^2+2^2}=\frac{10+10i}{20}=\frac{1+i}{2}$$​​

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