Définition et schéma de l'intégrale

Intuition

QUESTION Comment peut-on calculer la surface grise sous le graphe ? IDÉE FONDAMENTALE  L'aire sous le graphe peut être estimée par plusieurs rectangles de même largeur. Plus on définit de rectangles, plus les rectangles deviennent étroits, et meilleure est l’approximation de l’aire sous le graphe.

En calculs

Paramètres :

• $$n\$$​: nombre de rectangles
  
• $$∆x$$​: largeur d’un rectangle 
  
• $$x_{k\ }$$​: point sur la base d’un rectangle
  

Surfaces :

• Surface par rectangle : $$f\left(x_k\right)\cdot\Delta x$$​
  
• Surface totale : $$F_n=\sum_{k=1}^{n}{f\left(x_k\right)\cdot\Delta x}$$​
  Remarque : Le symbole $$\sum_{\ }^{\ }\$$​​ est un grand sigma et représente une somme.
  

Étape d’intégration : Le nombre de rectangles devient très grand. La largeur des rectangles devient très petite. L’intégrale résulte de la somme.

$$\lim\limits_{n\rightarrow\ \infty}{F_n}$$​​

Cette limite est appelée l’intégrale de la fonction $$f$$​ entre les bornes $$a$$​ et $$b$$​. On écrit :  

$$F=\int_{a}^{b}{f\left(x\right)\ dx}$$​​

Schéma

Division en $$n=3\$$​ sous-intervalles

Division en $$n=6\$$​ sous-intervalles