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Mathématiques

Séries

Les séries et leurs limites

Vidéos explicatives

Résumés

Exercices

Choisir une leçon

Introduction

Équations différentielles

Équations homogènes

Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Résumés

Les séries et leurs limites

Définition

Une série est la somme infinie des termes d’une suite $a_1\ ,\ a_2\ ,\ \ \ldots\ ,\ a_n\ ,\ldots\$ :

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\ a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n+\ \ldots$

Le « terme général » $s_n$ est donné par la somme des termes de la suite $a_n$ jusqu’au -ième terme.

$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\underbrace{a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n}_{termes\ de\ la\ suite}$

Série arithmétique

Une série arithmétique est donnée par la somme des termes de la suite arithmétique correspondante.

Suite	RÉCURSIVE	$a_n=a_{n-1}+d$	$d$ est constant : $d={a_n-a}_{n-1}$
	EXPLICITE	$a_n=a_1+d\cdot\left(n-1\right)$
Terme général de la série	$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\frac{n\cdot\left(a_1+a_n\right)}{2}$

Série géométrique

Une série géométrique est donnée par la somme des termes d’une suite géométrique.

Suite	RECURSIVE	$a_n=a_{n-1}\cdot q$	$q$ est constant : $q=\frac{a_n}{a_{n-1}}$
	EXPLICITE	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
Terme général de la série	$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{a_1\cdot q^{k-1}}=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$

Limites

La limite d’une série est la valeur dont la somme s’approche quand on laisse la borne $n$ tendre vers l’infini.

Séries géométriques

CONVERGENCE OU DIVERGENCE

$\|q\|<1$	Convergence	Quand $\|q\|$ est inférieur à 1, la série converge.
$\|q\|\geq1$	Divergence	Quand $\|q\|$ est supérieur ou égal à 1, la série diverge.

Limite (pour $|\mathbf{q}|<\mathbf{1}$ )

$g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{s_n}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_1\cdot q^{k-1}}=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$

Conseil : Pour déterminer la limite, on a seulement besoin de $a_1$ et de $q$ . On calcule :

$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$ 

Exemple

$\sum\limits_{\mathbf{k}=\mathbf{1}}^{\infty}{\mathbf{3}\cdot\left(\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\right)^{\mathbf{k}-\mathbf{1}}}$

$a_n=3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$

Extrais les valeurs : $a_1=3$ et $q=\frac{3}{4}$ 

Formule pour la limite :

$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}=3\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{4}}=\underline{12}$ 

La limite de la série est 12.

Séries arithmétiques

Les séries arithmétiques divergent.

Conseils pour les exercices typiques sur les limites

On doit souvent définir une série soi-même, par exemple géométrique.

MÉTHODE :

Détermine les trois premiers termes de la suite : $a_1$ , $a_2$  et $a_3$ .

Les valeurs font souvent partie de formes géométriques.

Les formes suivantes apparaissent souvent :

Triangles :

Théorème de Pythagore : $a^2+b^2=c^2$

Aire : $\ A=\frac{a\cdot h_a}{2}$

Cercles :

Périmètre : $U=2\pi r$

Aire : $\ A=\pi r^2$

Détermine la valeur de $q$ à l’aide de $a_1$ , $a_2$  et $a_3$ : $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}$

Remarque : on vérifie la valeur de $\frac{a_3}{a_2}$ pour s’assurer que $q$ est constant.

Utilise la formule pour la limite : $g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$

Lire plus

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Les séries et leurs limites

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Quels types de séries existe-t-il ?

Il existes des séries arithmétiques et des séries géométriques.

Qu'est-ce qu'une limite ?

La limite d'une série est la valeur dont la somme s'approche lorsqu'on laisse la borne n tendre vers l'infini.

Qu'est-ce qu'une série ?

Une série est la somme infinie des termes d'une suite. Le "terme général" sn est donné par la somme des termes de la suite an jusqu'au n-ième terme.

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Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

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Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

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Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

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Définition

Une série est la somme infinie des termes d’une suite $a_1\ ,\ a_2\ ,\ \ \ldots\ ,\ a_n\ ,\ldots\$ :

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\ a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n+\ \ldots$

Le « terme général » $s_n$ est donné par la somme des termes de la suite $a_n$ jusqu’au -ième terme.

$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\underbrace{a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n}_{termes\ de\ la\ suite}$

Série arithmétique

Une série arithmétique est donnée par la somme des termes de la suite arithmétique correspondante.

Suite	RÉCURSIVE	$a_n=a_{n-1}+d$	$d$ est constant : $d={a_n-a}_{n-1}$
	EXPLICITE	$a_n=a_1+d\cdot\left(n-1\right)$
Terme général de la série	$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\frac{n\cdot\left(a_1+a_n\right)}{2}$

Série géométrique

Une série géométrique est donnée par la somme des termes d’une suite géométrique.

Suite	RECURSIVE	$a_n=a_{n-1}\cdot q$	$q$ est constant : $q=\frac{a_n}{a_{n-1}}$
	EXPLICITE	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
Terme général de la série	$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{a_1\cdot q^{k-1}}=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$

Limites

La limite d’une série est la valeur dont la somme s’approche quand on laisse la borne $n$ tendre vers l’infini.

Séries géométriques

CONVERGENCE OU DIVERGENCE

$\|q\|<1$	Convergence	Quand $\|q\|$ est inférieur à 1, la série converge.
$\|q\|\geq1$	Divergence	Quand $\|q\|$ est supérieur ou égal à 1, la série diverge.

Limite (pour $|\mathbf{q}|<\mathbf{1}$ )

$g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{s_n}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_1\cdot q^{k-1}}=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$

Conseil : Pour déterminer la limite, on a seulement besoin de $a_1$ et de $q$ . On calcule :

$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$ 

Exemple

$\sum\limits_{\mathbf{k}=\mathbf{1}}^{\infty}{\mathbf{3}\cdot\left(\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\right)^{\mathbf{k}-\mathbf{1}}}$

$a_n=3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$

Extrais les valeurs : $a_1=3$ et $q=\frac{3}{4}$ 

Formule pour la limite :

$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}=3\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{4}}=\underline{12}$ 

La limite de la série est 12.

Séries arithmétiques

Les séries arithmétiques divergent.

Conseils pour les exercices typiques sur les limites

On doit souvent définir une série soi-même, par exemple géométrique.

MÉTHODE :

Détermine les trois premiers termes de la suite : $a_1$ , $a_2$  et $a_3$ .

Les valeurs font souvent partie de formes géométriques.

Les formes suivantes apparaissent souvent :

Triangles :

Théorème de Pythagore : $a^2+b^2=c^2$

Aire : $\ A=\frac{a\cdot h_a}{2}$

Cercles :

Périmètre : $U=2\pi r$

Aire : $\ A=\pi r^2$

Détermine la valeur de $q$ à l’aide de $a_1$ , $a_2$  et $a_3$ : $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}$

Remarque : on vérifie la valeur de $\frac{a_3}{a_2}$ pour s’assurer que $q$ est constant.

Utilise la formule pour la limite : $g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$

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Quels types de séries existe-t-il ?

Il existes des séries arithmétiques et des séries géométriques.

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La limite d'une série est la valeur dont la somme s'approche lorsqu'on laisse la borne n tendre vers l'infini.

Qu'est-ce qu'une série ?

Une série est la somme infinie des termes d'une suite. Le "terme général" sn est donné par la somme des termes de la suite an jusqu'au n-ième terme.

$\|q\|<1$	Convergence	Quand $\|q\|$ est inférieur à 1, la série converge.
$\|q\|\geq1$	Divergence	Quand $\|q\|$ est supérieur ou égal à 1, la série diverge.

$\|q\|<1$	Convergence	Quand $\|q\|$ est inférieur à 1, la série converge.
$\|q\|\geq1$	Divergence	Quand $\|q\|$ est supérieur ou égal à 1, la série diverge.

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CONVERGENCE OU DIVERGENCE

Limite (pour ∣q∣<1|\mathbf{q}|<\mathbf{1}∣q∣<1​)

Exemple

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Quels types de séries existe-t-il ?

Qu'est-ce qu'une limite ?

Qu'est-ce qu'une série ?

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