Les séries et leurs limites

Définition

Une série est la somme infinie des termes d’une suite $$a_1\ ,\ a_2\ ,\ \ \ldots\ ,\ a_n\ ,\ldots\$$​ :

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\ a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n+\ \ldots$$​​

Le « terme général » $$s_n$$​ est donné par la somme des termes de la suite $$a_n$$​ jusqu’au -ième terme.

$$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\underbrace{a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n}_{termes\ de\ la\ suite}$$​​

Série arithmétique

Une série arithmétique est donnée par la somme des termes de la suite arithmétique correspondante.

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Série géométrique

Une série géométrique est donnée par la somme des termes d’une suite géométrique.

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Limites

La limite d’une série est la valeur dont la somme s’approche quand on laisse la borne $$n$$​ tendre vers l’infini.

Séries géométriques

CONVERGENCE OU DIVERGENCE

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Limite (pour $$|\mathbf{q}|<\mathbf{1}$$​)

$$g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{s_n}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_1\cdot q^{k-1}}=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$$​​

Conseil : Pour déterminer la limite, on a seulement besoin de $$a_1$$​ et de $$q$$​. On calcule :

$$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$$​​

Exemple 

​$$\sum\limits_{\mathbf{k}=\mathbf{1}}^{\infty}{\mathbf{3}\cdot\left(\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\right)^{\mathbf{k}-\mathbf{1}}}$$​​

​$$a_n=3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$​​

Extrais les valeurs : $$a_1=3$$​ et $$q=\frac{3}{4}$$​

Formule pour la limite :

$$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}=3\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{4}}=\underline{12}$$​​

La limite de la série est 12.

Séries arithmétiques

Les séries arithmétiques divergent.

Conseils pour les exercices typiques sur les limites

On doit souvent définir une série soi-même, par exemple géométrique. 

MÉTHODE :