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Résumés

Équations homogènes

Définition

Une équation différentielle est homogène si tous ses termes contiennent l’inconnue .

Exemples

$y’’+2y=0$ est une équation homogène.

$\ \mathbf{y}’’+2y=3x$ n’est pas une équation homogène.

Séparation des variables

Dérivée et notation de Leibniz

La dérivée d’une fonction $y$ donne la pente de son graphe en chaque point. Pour obtenir la pente en un point $x_0$ , on calcule d’abord la pente d’une sécante entre $x_0$ et un point $x_0+h$ situé un peu plus loin :

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Équations homogènes

$Pente\ de\ la\ sécante=\frac{variation\ des\ y}{variation\ des\ x}=\frac{y(x_0+h)-y(x_0)}{(x_0+h)-x_0}$

La variation peut être notée par la lettre grecque « delta » :

$Pente\ de\ la\ sécante=\frac{∆y}{∆x}$

On obtient la pente au point $x_o$ en faisant tendre la distance entre les valeurs de $x$ vers $0$ :

$\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{y\left(x_0+h\right)-y\left(x_0\right)}{(x_0+h)-x_0}}=y'\left(x_0\right)$

La variation des valeurs de $x$ est alors infinitésimale (infiniment petite) et elle est notée en remplaçant le delta par un $d$ :

$Pente\ au\ point\ (x_0)=y'\left(x_0\right)=\frac{dy}{dx}$

Cette notation est appelée « notation de Leibniz ».

Résoudre une équation par séparation des variables

Dans les équations homogènes du premier ordre, il est parfois possible de séparer les variables et de résoudre l’équation différentielle en évaluant des intégrales.

MÉTHODE

1.	Isole le terme contenant la dérivée $y'$ et écris $y'$ sous la forme $\frac{dy}{dx}$ (notation de Leibniz).
2.	De l’autre côté de l’égalité, factorise l’expression de façon à séparer les $x$ et les $y$ .
3.	Place tous les $x$ d’un côté de l’équation et tous les $y$ de l’autre côté : Divise les deux côtés de l’équation par le facteur contenant les $y$ et multiplie les deux côtés de l’équation par $dx$ .
4.	Intègre les deux membres de l’équations pour obtenir une solution implicite.
5.	Si cela est possible, isole $y$ pour obtenir explicitement l’ensemble des solutions.

Exemple

Trouve les solutions de l’équation suivante :

$y'=\frac{2x+1}{3y}$ 

Utilise la notation de Leibniz :

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{3y}$ 

Sépare les variables :

$\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=\left(2x+1\right)\cdot\frac{1}{3y}\ \ \ \ \ &|\ ∶\frac{1}{3y}\\3y\cdot\frac{dy}{dx}=2x+1\ \ \ \ \ \ \ \ &|\ \ \cdot dx\\3y\cdot dy=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}$

Intègre les deux côtés de l’équation :

$\int{3y\ dy=\int{2x+1\ dx}}\\\frac{3}{2}y^2=x^2+x+c$ 

Isole $y$ :

$y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(x^2+x+c\right)}$

Équation avec condition initiale

Si une condition initiale est donnée, on peut s’en servir pour déterminer la valeur de la constante.

MÉTHODE

1.	Résous l’équation différentielle.
2.	Dans la solution trouvée, substitue les valeurs de $x$ et de $y$ données par la condition initiale.
3.	Résous l’équation pour trouver la constante $c$ .

Exemple

Trouve les solutions de l’équation suivante :

$\begin{cases}y'=\frac{2x+1}{3y} \\y(0)=4\end{cases}$ 

La forme générale a été calculée dans l’exemple précédent :

$y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(x^2+x+c\right)}$ 

Substitue les valeurs données ( $y=4,\ x=0$ ) :

$4=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(0^2+0+c\right)}=\pm\sqrt{\frac{2}{3}c}$ 

$4$ est un nombre positif, on peut donc ignorer la solution négative :

$4=\sqrt{\frac{2}{3}c}\\4^2=\frac{2}{3}c\\c=24$ 

L’unique solution est donc :

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\left(x^2+x+24\right)}$ 

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Durée:

Unité 1