Équations homogènes

Définition

Une équation différentielle est homogène si tous ses termes contiennent l’inconnue .

Exemples

$$y’’+2y=0$$​ est une équation homogène.

$$\ \mathbf{y}’’+2y=3x$$​ n’est pas une équation homogène.

Séparation des variables

Dérivée et notation de Leibniz

La dérivée d’une fonction $$y$$​ donne la pente de son graphe en chaque point. Pour obtenir la pente en un point $$x_0$$​, on calcule d’abord la pente d’une sécante entre $$x_0$$​ et un point $$x_0+h$$​ situé un peu plus loin :

$$Pente\ de\ la\ sécante=\frac{variation\ des\ y}{variation\ des\ x}=\frac{y(x_0+h)-y(x_0)}{(x_0+h)-x_0}$$​​

La variation peut être notée par la lettre grecque « delta » :

$$Pente\ de\ la\ sécante=\frac{∆y}{∆x}$$​​

On obtient la pente au point $$x_o$$​ en faisant tendre la distance entre les valeurs de $$x$$​ vers $$0$$​ :

$$\lim\limits_{h\rightarrow0}{\frac{y\left(x_0+h\right)-y\left(x_0\right)}{(x_0+h)-x_0}}=y'\left(x_0\right)$$​​

La variation des valeurs de $$x$$​ est alors infinitésimale (infiniment petite) et elle est notée en remplaçant le delta par un $$d$$​ :

$$Pente\ au\ point\ (x_0)=y'\left(x_0\right)=\frac{dy}{dx}$$​​

Cette notation est appelée « notation de Leibniz ».

Résoudre une équation par séparation des variables

Dans les équations homogènes du premier ordre, il est parfois possible de séparer les variables et de résoudre l’équation différentielle en évaluant des intégrales.

MÉTHODE

Exemple 

Trouve les solutions de l’équation suivante :

$$y'=\frac{2x+1}{3y}$$​​

Utilise la notation de Leibniz :

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{3y}$$​​

Sépare les variables :

​$$\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=\left(2x+1\right)\cdot\frac{1}{3y}\ \ \ \ \ &|\ ∶\frac{1}{3y}\\3y\cdot\frac{dy}{dx}=2x+1\ \ \ \ \ \ \ \ &|\ \ \cdot dx\\3y\cdot dy=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}$$​​

Intègre les deux côtés de l’équation :

$$\int{3y\ dy=\int{2x+1\ dx}}\\\frac{3}{2}y^2=x^2+x+c$$​​

Isole $$y$$​ :

$$y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(x^2+x+c\right)}$$​​

Équation avec condition initiale

Si une condition initiale est donnée, on peut s’en servir pour déterminer la valeur de la constante.

MÉTHODE

Exemple

Trouve les solutions de l’équation suivante :

$$\begin{cases}y'=\frac{2x+1}{3y} \\y(0)=4\end{cases}$$​​

La forme générale a été calculée dans l’exemple précédent :

$$y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(x^2+x+c\right)}$$​​

Substitue les valeurs données ($$y=4,\ x=0$$​) :

$$4=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\left(0^2+0+c\right)}=\pm\sqrt{\frac{2}{3}c}$$​​

$$4$$​ est un nombre positif, on peut donc ignorer la solution négative :

$$4=\sqrt{\frac{2}{3}c}\\4^2=\frac{2}{3}c\\c=24$$​​

L’unique solution est donc :

$$y=\sqrt{\frac{2}{3}\left(x^2+x+24\right)}$$​​