Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et une droite

est la distance de la droite au centre de la sphère. Cette distance est toujours mesurée perpendiculairement à la droite.

Trois cas

Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre une sphère et une droite

Déterminer la position relative d’une sphère et d’une droite

L’équation de la sphère de centre $M\left(x_M;y_M;z_M\right)$ est donnée sous la forme standard :

$S∶\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2,$

où $r\in\mathbb{R}$ est le rayon.

La droite est donnée sous forme paramétrique $g∶\ Q+s\cdot\overrightarrow u$ , où $Q$ est un point sur la droite, $\overrightarrow u$ le vecteur de direction et $s\in\mathbb{R}$ un paramètre.

Variante 1 : Avec une équation

Les points se trouvant sur la droite $g$ sont de la forme suivante :

$(x_Q+s\cdot x_{u\ }\ ;\ y_Q+s\cdot y_{u\ };\ z_Q+s\cdot z_{u\ }),$ 

avec $s\in\mathbb{R}$ .

MÉTHODE

S’il existe au moins une solution pour $s$ , on trouve le(s) point(s) d’intersection en substituant la (ou les) solution(s) dans l’équation de la droite.

Exemple

Quelle est la position relative de la sphère d’équation $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1$  et de la droite d’équation $\ \ (1\ ;-2\ ;\ 2)+s\cdot(0\ ;\ 1\ ;\ 0)$  ?

Solution :

Les points sur la droite sont de la forme $(1+s\cdot0\ ;-2+s\cdot1\ ;\ 2+s\cdot0)=(1\ ;-2+s\ ;\ 2)$ .

Remplace ces valeurs dans l’équation de la sphère et résous l’équation :

Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre une sphère et une droite

Il y a une solution et donc un unique point d’intersection.

Ses coordonnées sont obtenues en substituant $s=4$  :

$(1\ ;-2+s\ ;\ 2)=(1\ ;-2+4\ ;\ 2)=(1\ ;\ 2\ ;\ 2)$ 

Variante 2 : Avec la distance

MÉTHODE

1.

Calcule la distance $d$ de la droite au centre de la sphère :

$d=\frac{|\overrightarrow{QM}\times\overrightarrow u |}{|\overrightarrow u|}$

2.

Compare la distance avec le rayon de la sphère :

$d<r$ : La droite coupe la sphère.
$d=r$ : La droite est tangente à (touche) la sphère en un point.
$d>r$ : La droite ne touche pas la sphère.

Exemple

Mathématiques; Cercle Sphère; 4e Collège; Positions relatives entre une sphère et une droite