Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Rappel : forme algébrique

Un nombre complexe écrit sous forme algébrique se présente comme la somme d’une partie réelle et d’une partie contenant une unité imaginaire $$i$$​ :

$$z=a+bi$$​​

La partie imaginaire de $$z$$​, aussi notée $$Im(z),$$​ est le coefficient de l’unité imaginaire $$i$$​.

La partie réelle de $$z$$​, aussi notée $$Re(z),$$​ est le terme sans $$i:$$​

Exemple :

Le nombre $$3+2i$$​ est sous forme algébrique. Sa partie réelle est $$Re(3+2i)=3$$​ et sa partie imaginaire est $$Im(3+2i)=2$$​.

Plan complexe

On peut représenter les nombres réels sur une droite. Similairement, il existe une représentation géométrique des nombres complexes dans un système de coordonnées. L’axe horizontal représente la partie réelle et l’axe vertical représente la partie imaginaire.

Dessiner un nombre sous forme algébrique dans le plan complexe

MÉTHODE

Exemple

Le nombre $$3+2i$$​ correspond au point $$(3\ ;\ 2)$$​.

Module et argument

Lorsqu’un nombre complexe $$z$$​ est représenté dans le plan complexe, la distance $$r$$​ qui le sépare de l’origine est appelée son « module ». On le note $$\left|z\right|$$​ et on peut le calculer à l’aide du théorème de Pythagore :

$$\left|z\right|=\sqrt{{Re(z)}^2+{Im(z)}^2}$$​​

Le segment reliant le point et l’origine forme un angle $$\varphi$$​ avec l’axe horizontal. Cet angle est appelé « argument » et on le note $$arg(z)$$​.

Remarque : Le module est un nombre réel positif. L’argument est conventionnellement donné en radians. Il prend une valeur entre $$0$$​ et $$2\pi$$​.

Forme trigonométrique

Tout nombre complexe $$z$$​ non nul peut être donné sous forme trigonométrique. On l’écrit alors de la manière suivante :

où  est le module de , et  son argument.

$$z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)),$$​​

Remarque : On écrit aussi $$cis(\varphi)\$$​ à la place de $$cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)$$​ pour que l’expression soit plus courte. L’expression ci-dessus devient alors $$z=r\cdot cis(z)$$​.

Dessiner un nombre sous forme trigonométrique dans le plan complexe

MÉTHODE

Exemple

Trace le point $$3\left(cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$$​ sur le plan complexe.

Forme exponentielle

La notation utilisée dans la forme trigonométrique est plutôt longue. Il est possible de la rendre bien plus compacte en utilisant la formule d’Euler : $$e^{i\varphi}=cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)$$​

La forme trigonométrique devient alors

​$$z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))={re}^{i\varphi}.$$​​

Cette nouvelle forme est appelée « forme exponentielle ».

Module et argument

La forme exponentielle contient exactement les mêmes informations que la forme trigonométrique. Leurs caractéristiques sont donc très semblables.