Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Définition

La loi binomiale est l’une des plus importantes lois de probabilité discrète. Elle entre en jeu lorsqu’on a une expérience aléatoire sous la forme d’un processus de Bernoulli :

Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles.
Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.

Fonctions

Fonction de masse

La fonction de masse est tirée du processus de Bernoulli.

$P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}$	$p$	Probabilité de l’événement aléatoire
	$n$	Nombre de répétitions de l’expérience aléatoire
	$k$	Nombre de succès

Notation : Certains écrivent $B_{n,p}\left(X=k\right)$ ou $B_{n,p}\left(k\right)$ au lieu de $P\left(X=k\right)$ .

Fonction de répartition

La fonction de répartition additionne les résultats (probabilités) de la fonction de masse.

$F(a)=P\left(X\le a\right)=\sum_{i=0}^{a}{\binom{n}{i}\cdot p^i\cdot\left(1-p\right)^{n-i}}$	$p$	Probabilité de l’événement aléatoire
	$n$	Nombre de répétition de l’expérience aléatoire
	$a$	Limite supérieure du succès
	$I$	Variable d’exécution

Paramètres

Espérance mathématique	$E\left(X\right)=n\cdot p$
Variance	$V\left(X\right)=n\cdot p\cdot(1-p)$
Écart type	$\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$

Exemple

Un joueur de basket a une probabilité de 60 % d’inscrire un panier. Quelle est la probabilité qu'il marque 8 paniers ou plus sur 10 tirs ?

Tableau avec les variables :

Mathématiques; Distributions; 4e Collège; Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Calcul de la probabilité :

$P\left(X\geq8\right)=P\left(X=8\right)+P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)$

Introduis :

$=\binom{10}{8}\cdot{0.6}^8\cdot{0.4}^2+\binom{10}{9}\cdot{0.6}^9\cdot{0.4}^1+\binom{10}{10}\cdot{0.6}^{10}\cdot{0.4}^0\approx0.167=\underline{16.7\%}$

Représentation dans le diagramme :

Mathématiques; Distributions; 4e Collège; Loi binomiale - Paramètres et fonctions