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Loi binomiale - Paramètres et fonctions

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Relations entre plans

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Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

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Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Définition

La loi binomiale est l’une des plus importantes lois de probabilité discrète. Elle entre en jeu lorsqu’on a une expérience aléatoire sous la forme d’un processus de Bernoulli :

  • Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles.
  • Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.


Fonctions

Fonction de masse

La fonction de masse est tirée du processus de Bernoulli.

​P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}P(X=k)=(kn​)⋅pk⋅(1−p)n−k​​

​ppp​​

Probabilité de l’événement aléatoire

​nnn​​

Nombre de répétitions de l’expérience aléatoire

​kkk​​

Nombre de succès


Notation : Certains écrivent Bn,p(X=k)B_{n,p}\left(X=k\right)Bn,p​(X=k) ou Bn,p(k)B_{n,p}\left(k\right)Bn,p​(k) au lieu de P(X=k)P\left(X=k\right)P(X=k).


Fonction de répartition

La fonction de répartition additionne les résultats (probabilités) de la fonction de masse.

​F(a)=P(X≤a)=∑i=0a(ni)⋅pi⋅(1−p)n−iF(a)=P\left(X\le a\right)=\sum_{i=0}^{a}{\binom{n}{i}\cdot p^i\cdot\left(1-p\right)^{n-i}}F(a)=P(X≤a)=i=0∑a​(in​)⋅pi⋅(1−p)n−i​​

​ppp​​

Probabilité de l’événement aléatoire

​nnn​​

Nombre de répétition de l’expérience aléatoire

​aaa​​

Limite supérieure du succès

​III​​

Variable d’exécution

​

Paramètres

Espérance mathématique
​E(X)=n⋅pE\left(X\right)=n\cdot pE(X)=n⋅p​​

Variance
​V(X)=n⋅p⋅(1−p)V\left(X\right)=n\cdot p\cdot(1-p)V(X)=n⋅p⋅(1−p)​​

Écart type
​σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}σ(X)=n⋅p⋅(1−p)​​​


Exemple

Un joueur de basket a une probabilité de 60 % d’inscrire un panier. Quelle est la probabilité qu'il marque 8 paniers ou plus sur 10 tirs ?


Tableau avec les variables :

Mathématiques; Distributions; 4e Collège; Loi binomiale - Paramètres et fonctions


Calcul de la probabilité :

P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)P\left(X\geq8\right)=P\left(X=8\right)+P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)​​


Introduis :

=(108)⋅0.68⋅0.42+(109)⋅0.69⋅0.41+(1010)⋅0.610⋅0.40≈0.167=16.7%‾=\binom{10}{8}\cdot{0.6}^8\cdot{0.4}^2+\binom{10}{9}\cdot{0.6}^9\cdot{0.4}^1+\binom{10}{10}\cdot{0.6}^{10}\cdot{0.4}^0\approx0.167=\underline{16.7\%}=(810​)⋅0.68⋅0.42+(910​)⋅0.69⋅0.41+(1010​)⋅0.610⋅0.40≈0.167=16.7%​​​


Représentation dans le diagramme :

Mathématiques; Distributions; 4e Collège; Loi binomiale - Paramètres et fonctions
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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:

Ceci est la leçon dans laquelle vous vous trouvez actuellement et l'objectif du parcours.

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Unité 1

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Test final

Testez la révision de toutes les unités pour réclamer une planète de récompense.

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelles sont les fonctions utilisées dans la loi binomiale ?

On utilise : - La fonction de masse, tirée du processus de Bernoulli - La fonction de répartition, qui additionne les résultats (probabilités) de la fonction de masse

Qu'est-ce que la loi binomiale ?

La loi binomiale est l'une des plus importantes lois de probabilité discrète. Elle entre en jeur lorsqu'on a une expérience aléatoire sous la forme d'un processus de Bernoulli : - Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles. - Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.

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