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Nombres complexes - Conversion de formes

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Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Nombres complexes - Conversion de formes

Tableau récapitulatif 

Les trois façons les plus courantes de représenter des nombres complexes sont résumées dans ce tableau :

Nom

Forme générale

Caractéristiques

FORME ALGÉBRIQUE

z=a+biz=a+biz=a+bi​​

a, ba,\ ba, b​ sont des nombres réels.
  • Partie réelle Re(z)=a Re(z)=aRe(z)=a​
  • Partie imaginaire Im(z)=b Im(z)=bIm(z)=b​
  • Facile à additionner et soustraire

FORME TRIGONOMÉTRIQUE

z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ))z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ))​​

rrr​ est un réel positif. 

φ\varphiφ​ est un angle donné en radians.
  • Module ∣z∣=r\left|z\right|=r∣z∣=r​
  • Argument Arg(z)= φArg(z)=\ \varphiArg(z)= φ​
  • Facile à multiplier et diviser

FORME EXPONENTIELLE

z=reiφz={re}^{i\varphi}z=reiφ​​

rrr​ est un réel positif. 

φ\varphiφ​ est un angle donné en radians.
  • Module ∣z∣=r\left|z\right|=r∣z∣=r​
  • Argument Arg(z)= φArg(z)=\ \varphiArg(z)= φ​
  • Facile à multiplier et diviser


​

Conversion de forme

Forme trigonométrique et exponentielle

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme exponentielle (ou vice versa), aucun calcul n’est nécessaire. Il suffit de prendre la valeur de et de  pour écrire le nombre sous la nouvelle forme.


MÉTHODE

1.

Rassemble les termes pour obtenir la forme standard z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ))z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ))​ ou z=reiφz={re}^{i\varphi}z=reiφ​.

2.

Détermine la valeur de rrr​ et de φ\varphiφ​.

3.

Remplace ces valeurs dans la forme voulue.


Exemples : 

Écris 2(cos(3π4)+i⋅sin(3π4)) \sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\ 2​(cos(43π​)+i⋅sin(43π​)) ​ sous forme exponentielle.


    r=2r=\sqrt2r=2​​ , φ=3π4\varphi=\frac{3\pi}{4}φ=43π​​
Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Nombres complexes - Conversion de formes

​z=reiφ=2 e3π4iz={re}^{i\varphi}=\sqrt2\ e^{\frac{3\pi}{4}i}z=reiφ=2​ e43π​i​​

Écris 3eπi3e^{\pi i}3eπi​ sous forme trigonométrique.

r=3r=3r=3​, φ=π\varphi=\piφ=π​
Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Nombres complexes - Conversion de formes
​z=3(cos(π)+i⋅sin(π))z=3(cos(\pi)+i\cdot sin(\pi))z=3(cos(π)+i⋅sin(π))​​


De la trigonométrique à l’algébrique

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, il suffit de développer l’expression.


MÉTHODE

1.

Supprime les parenthèses en distribuant la multiplication.

2.

Évalue éventuellement les fonctions trigonométriques.

3.

Rassemble les termes contenant un iii​ et mets ce iii​ en évidence si nécessaire.

Exemple : 

Écris 2(cos(3π4)+i⋅sin(3π4)) \sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\ 2​(cos(43π​)+i⋅sin(43π​))  sous forme arithmétique.


2(cos(3π4)+i⋅sin(3π4))=2⋅cos(π2)+2⋅i⋅sin(π2)=2⋅(−12)+2⋅i⋅(12)=−1+i\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)=\\\sqrt2\cdot cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt2\cdot i\cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\\\sqrt2\cdot\left(\frac{-1}{\sqrt2}\right)+\sqrt2\cdot i\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=-1+i2​(cos(43π​)+i⋅sin(43π​))=2​⋅cos(2π​)+2​⋅i⋅sin(2π​)=2​⋅(2​−1​)+2​⋅i⋅(2​1​)=−1+i​​


De l’algébrique à la trigonométrique

À partir de la forme algébrique z=a+biz=a+biz=a+bi​, on peut facilement trouver la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe : Re(z)=a Re(z)=a\ Re(z)=a  et Im(z)=bIm(z)=bIm(z)=b​. Ces valeurs nous permettent de calculer le module et l’argument du nombre.


MÉTHODE

1.

Repère la partie réelle aaa​ et la partie imaginaire bbb​.

2.

Calcule le module rrr​ à l’aide du théorème de Pythagore : r=∣z∣=Re(z)2+Im(z)2=a2+b2r=\left|z\right|=\sqrt{{Re(z)}^2+{Im(z)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}r=∣z∣=Re(z)2+Im(z)2​=a2+b2​​

3.

Détermine l’argument φ\varphiφ​ sachant que cos(φ)=arcos(\varphi)=\frac{a}{r}cos(φ)=ra​​ et que sin(φ)=brsin(\varphi)=\frac{b}{r}sin(φ)=rb​​.

Conseil : Aide-toi d’une table de valeurs.

4.

Substitue les valeurs trouvées dans la formule : z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ)).z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)).z=r(cos(φ)+i⋅sin(φ)).​


Exemple : 

Écris z=2+2iz=2+2iz=2+2i​ sous forme trigonométrique.


a=2,  b=2a=2,\ \ b=2a=2,  b=2​​


Calcule le module :

r=22+22=8=22r=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2r=22+22​=8​=22​​​

 

Détermine l’argument  φ\ \varphi φ​:

cos(φ)=ar=222=12sin(φ)=br=222=12cos(\varphi)=\frac{a}{r}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\\sin(\varphi)=\frac{b}{r}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}cos(φ)=ra​=22​2​=2​1​sin(φ)=rb​=22​2​=2​1​​​


A l’aide d’une table de valeurs, on détermine que φ=π4.\varphi=\frac{\pi}{4}.φ=4π​.​


z=22(cos(π4)+i⋅sin(π4))z=2\sqrt2\left(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)z=22​(cos(4π​)+i⋅sin(4π​))​​




                               

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Durée:
Nombres complexes - Conversion de formes

Unité 1

Nombres complexes - Conversion de formes

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment passer de la forme algébrique à la trigonométrique ?

À partir de la forme algébrique z = a + bi, on peut facilement trouver la partie réelle et la partie imaginaire d'une nombre complexe : Re(z) = a et Im(z) = b. Ces valeurs nous permettent de calculer le module et l'argument du nombre.

Comment passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique ?

Pour passer de la forme trigonométrique à l'algébrique, il te suffit de développer l'expression.

Puis-je convertir la forme trigonométrique en forme exponentielle ?

Oui, pour passer de la forme trigonométrique à la forme exponentielle (ou vice versa), aucun calcul n'est nécessaire. Il te suffit de prendre la valeur de r et de φ pour écrire le nombre sous la nouvelle forme.

Quelles sont les façons les plus courantes de représenter des nombres complexes ?

Les façons les plus courantes de représenter des nombres complexes sont : - Forme algébrique - Forme trigonométrique - Forme exponentielle

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