Nombres complexes - Conversion de formes

Tableau récapitulatif 

Les trois façons les plus courantes de représenter des nombres complexes sont résumées dans ce tableau :

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Conversion de forme

Forme trigonométrique et exponentielle

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme exponentielle (ou vice versa), aucun calcul n’est nécessaire. Il suffit de prendre la valeur de et de  pour écrire le nombre sous la nouvelle forme.

MÉTHODE

Exemples : 

Écris $$\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\$$​ sous forme exponentielle.

$$r=\sqrt2$$​ , $$\varphi=\frac{3\pi}{4}$$​

​$$z={re}^{i\varphi}=\sqrt2\ e^{\frac{3\pi}{4}i}$$​​

Écris $$3e^{\pi i}$$​ sous forme trigonométrique.

$$r=3$$​, $$\varphi=\pi$$​

​$$z=3(cos(\pi)+i\cdot sin(\pi))$$​​

De la trigonométrique à l’algébrique

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, il suffit de développer l’expression.

MÉTHODE

Exemple : 

Écris $$\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\$$ sous forme arithmétique.

$$\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)=\\\sqrt2\cdot cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt2\cdot i\cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\\\sqrt2\cdot\left(\frac{-1}{\sqrt2}\right)+\sqrt2\cdot i\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=-1+i$$​​

De l’algébrique à la trigonométrique

À partir de la forme algébrique $$z=a+bi$$​, on peut facilement trouver la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe : $$Re(z)=a\$$ et $$Im(z)=b$$​. Ces valeurs nous permettent de calculer le module et l’argument du nombre.

MÉTHODE

Exemple : 

Écris $$z=2+2i$$​ sous forme trigonométrique.

$$a=2,\ \ b=2$$​​

Calcule le module :

$$r=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$$​​

Détermine l’argument $$\ \varphi$$​:

$$cos(\varphi)=\frac{a}{r}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\\sin(\varphi)=\frac{b}{r}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}$$​​

A l’aide d’une table de valeurs, on détermine que $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$​

$$z=2\sqrt2\left(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$$​​