Matrice inverse - Propriétés et définitions

Définition

La matrice inverse $A^{-1}$ d’une matrice carrée A est une matrice qui donne l’identité quand on la multiplie avec $A^{-1}$ . Si elle existe, on a :

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_n$

$E_n$ est la matrice identité de dimension $n\times n$ .

Exemple – Multiplication de la matrice $A$ et de son inverse

$A=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right),\ {\ A}^{-1}=\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)$ 

Prouve, que $A^{-1}\$ est la matrice inverse de A :

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)$ 

Multiplie :

$\left(\begin{matrix}1\cdot 4-3\cdot1&4\cdot3-3\cdot4\\-1\cdot1+1\cdot 1&-1\cdot3+1\cdot4\\\end{matrix}\right)=\underbrace{\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)}_{Matrice\ identit\acute{e}}=E_n$

Remarque 1 : Pas toutes les matrices carrées ont une matrice inverse.

Remarque 2 : La matrice inverse n’existe que si le déterminant n’est pas égal à zéro : $det{A}\neq0$ .

Propriétés des matrices inverses

${A\cdot A}^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_n$	L’ordre dans lequel on multiplie la matrice inverse avec la matrice originale ne joue pas de rôle : Le résultat dans les deux cas est la matrice identité.
${{(A}^{-1})}^{-1}=A$	La matrice inverse de la matrice inverse est à nouveau la matrice originale.
${E_n}^{-1}=E_n$	La matrice inverse de la matrice identité est la matrice identité.
${(rA)}^{-1}={r^{-1}\cdot A}^{-1}$	La matrice inverse d’une matrice multipliée par un scalaire est la matrice inverse multipliée par l’inverse du scalaire.
${{(A}^T)}^{-1}={{(A}^{-1})}^T$	L’inverse d’une matrice transposée correspond à la transposée de la matrice inverse.
$det(A^{-1})={det(A)}^{-1}$	Le déterminant de la matrice inverse est égal à l'inverse du déterminant de la matrice originale.

Déterminer la matrice inverse

Matrice en 2 dimensions

FORMULE

A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)

A^{-1}=\frac{1}{\det{\left(A\right)}}\left(\begin{matrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\\\end{matrix}\right)

Exemple – Calculer la matrice inverse d’une matrice $2\times2 A.$

$A=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)$ 

Calcule le déterminant :

$det{\left(A\right)}=10-9=1$ 

Calcule la matrice inverse :

$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)$ 

Vérifie :

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10-9&-15+15\\6-6&-9+10\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$

Matrice en 3 dimensions

La formule suivante est utilisée pour calculer l’inverse d’une matrice $3\times3$ . Cependant, elle est rarement utilisée à l’école.

FORMULE

$A=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{matrix}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\left(\begin{matrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{matrix}\right)$

Exemple – Calculer la matrice inverse de la matrice $3\times3 \ A$ .

$A=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)$

Calcule le déterminant :

$det{\left(A\right)}=1\cdot0\cdot0+3\cdot2\cdot1+2\cdot\left(-1\right)\cdot5-2\cdot0\cdot1-1\cdot2\cdot5-3\cdot\left(-1\right)\cdot0=6-10-10=-14$ 

Calcule la matrice inverse :

$A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&4\\\end{matrix}\right)^{-1}=\frac{1}{-14}\left(\begin{matrix}-10&10&6\\2&-2&-4\\-5&-2&3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-6}{14}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)=$

Vérifie :

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-3}{7}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}-\frac{3}{7}+\frac{10}{14}&\frac{-5}{7}+\frac{3}{7}+\frac{2}{7}&\frac{-3}{7}+\frac{6}{7}-\frac{3}{7}\\\frac{-5}{7}+0+\frac{5}{7}&\frac{5}{7}+0+\frac{2}{7}&\frac{3}{7}+0-\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}-\frac{5}{7}+0&\frac{-5}{7}+\frac{5}{7}+0&\frac{-3}{7}+\frac{10}{7}+0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$