Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Définition

La loi normale est une loi de probabilité continue. Il existe un nombre infini d’événements possibles.

On définit la loi normale à partir de deux valeurs : (1) de la valeur moyenne (espérance) d’une distribution et (2) de l’écart type d’une distribution.

$X~\mathcal{N}(\mu,\ \sigma^2)$

Fonctions

Fonction de densité

La loi normale peut être calculée grâce à la fonction de densité générale.

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$	$x$	Variable aléatoire
	$\mu$	Espérance de la distribution
	$\sigma$	Écart type de la distribution

Remarque 1 : Dans les exercices, $\mu$ et $\sigma$ sont généralement donnés.

Remarque 2 : On calcule généralement avec une calculatrice ou un tableau.

REPRÉSENTATION

Mathématiques; Distributions; 4e Collège; Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Fonction de répartition

La fonction de répartition $\phi(x)$ est donnée par l’aire sous la fonction de densité $f(x)$ . Pour toute valeur $x$ donnée, elle donne la probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à $x$ .

$F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$	$x$	Variable aléatoire
	$\mu$	Espérance de la distribution
	$\sigma$	Écart type de la distribution
	$t$	Variable d’intégration

Remarque : Généralement on calcule la fonction de répartition avec une calculatrice ou un tableau.

INTERVALLE

Probabilité pour un intervalle de $X$ :

$P\left(a\le X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{a}^{b}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$

REPRÉSENTATION

D’un côté	De deux côtés (intervalle)
$P\left(X\le x\right)$	$P\left(a\le X\le b\right)$

Exemple

Supposons que le poids (en grammes) de pommes est normalement distribué avec $\mu=75,\ \ \sigma=15$ . 200 pommes sont examinées. Combien de pommes ont un poids entre 60 et 80g ?

$F\left(80\right)-F\left(60\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot15}\cdot\int_{60}^{80}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-75}{15}\right)^2}dt}\approx0.4719=47.19%$

$47.19\%\cdot200\approx\underline{94\ pommes}$

Loi normale standard

La loi normale standard est un cas particulier de la loi normale où l’espérance est $0(\mu=0)$ et l’écart type $1 (\sigma=1).$

FONCTION DE DENSITÉ

Loi normale avec l’espérance $0 (\mu=0)$ et l’écart type $1 (\sigma=1) :$

$\varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$

FONCTION DE RÉPARTITION

$\phi\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}\varphi\left(t\right)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}t^2}dt}$