Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Définition

La loi normale est une loi de probabilité continue. Il existe un nombre infini d’événements possibles.

On définit la loi normale à partir de deux valeurs : (1) de la valeur moyenne (espérance) d’une distribution et (2) de l’écart type d’une distribution.

$$X~\mathcal{N}(\mu,\ \sigma^2)$$​​

Fonctions

Fonction de densité

La loi normale peut être calculée grâce à la fonction de densité générale.

Remarque 1 : Dans les exercices, $$\mu$$​ et $$\sigma$$​ sont généralement donnés.

Remarque 2 : On calcule généralement avec une calculatrice ou un tableau.

REPRÉSENTATION

Fonction de répartition

La fonction de répartition $$\phi(x)$$​ est donnée par l’aire sous la fonction de densité $$f(x)$$​. Pour toute valeur $$x$$​ donnée, elle donne la probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à $$x$$​.

Remarque : Généralement on calcule la fonction de répartition avec une calculatrice ou un tableau.

INTERVALLE

Probabilité pour un intervalle de $$X$$​ :

$$P\left(a\le X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{a}^{b}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$$​​

REPRÉSENTATION

D’un côté	De deux côtés (intervalle)
​$$P\left(X\le x\right)$$​​	​$$P\left(a\le X\le b\right)$$​​

Exemple

Supposons que le poids (en grammes) de pommes est normalement distribué avec $$\mu=75,\ \ \sigma=15$$​. 200 pommes sont examinées. Combien de pommes ont un poids entre 60 et 80g ?

​$$F\left(80\right)-F\left(60\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot15}\cdot\int_{60}^{80}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-75}{15}\right)^2}dt}\approx0.4719=47.19$$​​

​$$47.19\%\cdot200\approx\underline{94\ pommes}$$​​

Loi normale standard

La loi normale standard est un cas particulier de la loi normale où l’espérance est $$0(\mu=0)$$​ et l’écart type $$1 (\sigma=1).$$​​

FONCTION DE DENSITÉ

Loi normale avec l’espérance $$0 (\mu=0)$$​ et l’écart type $$1 (\sigma=1) :$$​​

​$$\varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$$​​

FONCTION DE RÉPARTITION

$$\phi\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}\varphi\left(t\right)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}t^2}dt}$$​​