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Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Choisir une leçon

Introduction

Équations différentielles

Équations homogènes

Équations non homogènes

Introduction

Nombres complexes - Partie réelle, imaginaire et conjugué

Plan complexe, forme trigonométrique et exponentielle

Opérations sous forme exponentielle et trigonométrique

Nombres complexes - Conversion de formes

Application

Applications linéaires et compositions d'applications

Bases

Matrices - Définition, propriétés et matrices transposées

Calcul matriciel - Règles de calculs

Matrices - Déterminant

Vecteurs propres et valeurs propres

Matrice inverse - Propriétés et définitions

Séries

Les séries et leurs limites

Série de Taylor-Maclaurin

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Induction ou raisonnement par récurrence

Calcul Intégral

Définition et schéma de l'intégrale

Primitives et intégrales définies

Formation et règles d'intégration de primitives

Intégration par parties - Définitions et formules

L'intégration par substitution

Calcul de l'aire entre deux graphes

Volume d'un solide de révolution

Intégrale impropre - Définition et calcul

Autres applications des intégrales - Arcs et aire latérale

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Limites et continuité d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Fonctions paires et impaires et symétrie

Extrema locaux et globaux

Points d'inflexion d'une fonction

Monotonie - Types et tableaux de variations

Étude de fonction complète

Famille de courbes - Définition et étude de fonctions

Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Déterminer une fonction polynomiale

Théorème de Rolle et de Lagrange

Calcul différentiel

Dérivée et taux de variation

Dérivée - Fonctions puissances

Dérivée - Fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivée - Fonctions trigonométriques

Règles de dérivation pour fonction composée

Équation de la tangente et de la normale

Continuité et dérivabilité - Définition et relation

Distributions

Aperçu sur les distributions

Epreuve et processus de Bernoulli

Loi binomiale - Paramètres et fonctions

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Statistique

Paramètres statistiques

Moyenne, médiane et mode

Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

Boîte à moustaches - Box plot

Analyse de données : variables qualitatives et quantitatives

Graphiques et distributions

Paramètres statistiques

Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Combinatoire et probabilités

Ensembles et tableaux de répartition

Probabilités conditionnelles - Théorème de Bayes

Combinatoire

Combinatoire - notions et règles de calcul

Combinatoire - Factorielle

Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

Modèle binaire - Astuce pour la formule

Probabilités

Diagrammes en arbre

Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

Cercle Sphère

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

Positions relatives entre deux sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

Positions relatives entre deux cercles

Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

Equation de droite en 2D et en 3D

Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

Relations entre deux droites

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

Règles du calcul vectoriel

Dépendance et indépendance linéaire

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

Fonctions linéaires

Optimisation linéaire

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Définition

La loi normale est une loi de probabilité continue. Il existe un nombre infini d’événements possibles.

On définit la loi normale à partir de deux valeurs : (1) de la valeur moyenne (espérance) d’une distribution et (2) de l’écart type d’une distribution.

$X~\mathcal{N}(\mu,\ \sigma^2)$

Fonctions

Fonction de densité

La loi normale peut être calculée grâce à la fonction de densité générale.

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$	$x$	Variable aléatoire
	$\mu$	Espérance de la distribution
	$\sigma$	Écart type de la distribution

Remarque 1 : Dans les exercices, $\mu$ et $\sigma$ sont généralement donnés.

Remarque 2 : On calcule généralement avec une calculatrice ou un tableau.

REPRÉSENTATION

Fonction de répartition

La fonction de répartition $\phi(x)$ est donnée par l’aire sous la fonction de densité $f(x)$ . Pour toute valeur $x$ donnée, elle donne la probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à $x$ .

$F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$	$x$	Variable aléatoire
	$\mu$	Espérance de la distribution
	$\sigma$	Écart type de la distribution
	$t$	Variable d’intégration

Remarque : Généralement on calcule la fonction de répartition avec une calculatrice ou un tableau.

INTERVALLE

Probabilité pour un intervalle de $X$ :

$P\left(a\le X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{a}^{b}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$

REPRÉSENTATION

D’un côté	De deux côtés (intervalle)
$P\left(X\le x\right)$	$P\left(a\le X\le b\right)$

Exemple

Supposons que le poids (en grammes) de pommes est normalement distribué avec $\mu=75,\ \ \sigma=15$ . 200 pommes sont examinées. Combien de pommes ont un poids entre 60 et 80g ?

$F\left(80\right)-F\left(60\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot15}\cdot\int_{60}^{80}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-75}{15}\right)^2}dt}\approx0.4719=47.19%$

$47.19\%\cdot200\approx\underline{94\ pommes}$

Loi normale standard

La loi normale standard est un cas particulier de la loi normale où l’espérance est $0(\mu=0)$ et l’écart type $1 (\sigma=1).$

FONCTION DE DENSITÉ

Loi normale avec l’espérance $0 (\mu=0)$ et l’écart type $1 (\sigma=1) :$

$\varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$

FONCTION DE RÉPARTITION

$\phi\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}\varphi\left(t\right)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}t^2}dt}$

Lire plus

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Loi normale - Définition, intervalle et représentations

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que la loi normale standard ?

La loi normale standard est un cas particulier de la loi normale où l'espérance est 0 et l'écart type est 1.

Quelles fonctions permettent de calculer la loi normale ?

Pour calculer la loi normale, tu peux utiliser la fonction de densité et la fonction de répartition.

Qu'est-ce que la loi normale ?

La loi normale est une loi de probabilité continue. Il existe un nombre infini d'événements possibles. On définit la loi normale à parti de deux valeurs : (1) de la valeur moyenne (espérance) d'une distribution et (2) de l'écart type d'une distribution.

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Fonctions paires et impaires et symétrie

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Quartiles : définition et calcul

Dispersion : étendue, variance, écart interquartiles et type

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Probabilités

Théorie des ensembles

Probabilités - Définitions et propriétés

Expériences aléatoires simples

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Ensembles et tableaux de répartition

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Combinatoire - notions et règles de calcul

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Coefficient binomial : propriétés

Combinatoire - Permutation

Combinatoire - Variation

Combinatoire - Combinaison

Formules de combinatoire

Combinatoire imbriquée - Problèmes

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Expériences aléatoires

Combinatoire

Combinatoire : factorielle et coefficients binomiaux

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Positions relatives entre une sphère et une droite

Positions relatives entre une sphère et un plan

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Plans

Equation cartésienne et paramétrique de plans

Distance entre un plan et une point

Forme normale de Hesse : définition, formule et application

Relations entre un plan et une droite

Relations entre plans

Droites

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Angle entre vecteurs

Point, droite et symétrique

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Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Composantes de vecteurs

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Dépendance et indépendance linéaire

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Propriétés des fonctions

Continuité et dérivabilité

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Définition

La loi normale est une loi de probabilité continue. Il existe un nombre infini d’événements possibles.

On définit la loi normale à partir de deux valeurs : (1) de la valeur moyenne (espérance) d’une distribution et (2) de l’écart type d’une distribution.

$X~\mathcal{N}(\mu,\ \sigma^2)$

Fonctions

Fonction de densité

La loi normale peut être calculée grâce à la fonction de densité générale.

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$	$x$	Variable aléatoire
	$\mu$	Espérance de la distribution
	$\sigma$	Écart type de la distribution

Remarque 1 : Dans les exercices, $\mu$ et $\sigma$ sont généralement donnés.

Remarque 2 : On calcule généralement avec une calculatrice ou un tableau.

REPRÉSENTATION

Fonction de répartition

$F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$	$x$	Variable aléatoire
	$\mu$	Espérance de la distribution
	$\sigma$	Écart type de la distribution
	$t$	Variable d’intégration

Remarque : Généralement on calcule la fonction de répartition avec une calculatrice ou un tableau.

INTERVALLE

Probabilité pour un intervalle de $X$ :

$P\left(a\le X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{a}^{b}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$

REPRÉSENTATION

D’un côté	De deux côtés (intervalle)
$P\left(X\le x\right)$	$P\left(a\le X\le b\right)$

Exemple

Supposons que le poids (en grammes) de pommes est normalement distribué avec $\mu=75,\ \ \sigma=15$ . 200 pommes sont examinées. Combien de pommes ont un poids entre 60 et 80g ?

$F\left(80\right)-F\left(60\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot15}\cdot\int_{60}^{80}{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-75}{15}\right)^2}dt}\approx0.4719=47.19%$

$47.19\%\cdot200\approx\underline{94\ pommes}$

Loi normale standard

La loi normale standard est un cas particulier de la loi normale où l’espérance est $0(\mu=0)$ et l’écart type $1 (\sigma=1).$

FONCTION DE DENSITÉ

Loi normale avec l’espérance $0 (\mu=0)$ et l’écart type $1 (\sigma=1) :$

$\varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$

FONCTION DE RÉPARTITION

$\phi\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}\varphi\left(t\right)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{1}{2}t^2}dt}$

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Durée:

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Loi normale - Définition, intervalle et représentations

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Qu'est-ce que la loi normale standard ?

La loi normale standard est un cas particulier de la loi normale où l'espérance est 0 et l'écart type est 1.

Quelles fonctions permettent de calculer la loi normale ?

Pour calculer la loi normale, tu peux utiliser la fonction de densité et la fonction de répartition.