Point, droite et symétrique

Trouver la distance la plus courte entre un point et une droite

Variante 1 : Avec le produit scalaire

Le point $L$ est le point sur la droite $g$ ayant la plus courte distance de $A$ .

Sont donnés : droite $g$ : $\overrightarrow x=\overrightarrow p +t\cdot \overrightarrow u$ et le point $A$ .

MÉTHODE

Mathématiques; Droites; 4e Collège; Point, droite et symétrique

Variante 2 : Avec le produit vectoriel

Mathématiques; Droites; 4e Collège; Point, droite et symétrique

MÉTHODE

1.	Détermine le vecteur $\overrightarrow {PA}$ entre le point $P$ sur la droite et le point $A$ .
2.	Introduis tous les éléments dans la formule.

Variante 3 : Avec l’aide d’un plan

Calcule le point $L$ avec l’aide d’un plan.

MÉTHODE

1.	Forme le plan E E contient A et est perpendiculaire à g: - Vecteur normal : $\vec{n}=\vec{u}$ - Point de soutien de E : vecteur de position de $A : \vec{OA}$
2.	Forme le point d'intersection entre E et g
3.	Forme la distance d entre A et L : $d=\| \vec{AL} \|$
Donné : $g:\ \ \ \ \overrightarrow x = \overrightarrow p +t \cdot \overrightarrow u,\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$ et le point $A(x_A;y_A;z_A)$

Symétrique d’un point par rapport à une droite

Un point doit être reflété sur une ligne droite.

Avec l’aide d’un plan

La droite $g:\ \ \ \ \overrightarrow x = \overrightarrow p +t \cdot \overrightarrow u,\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$ et le point $A(x_A;y_A;z_A)$ sont donnés. $A$ doit être reflété dans $g.$

MÉTHODE

Double le paramètre du point d'intersection et intègre-le dans la droite :

$\vec{OA'} = \vec{OA} + 2\cdot t_l\cdot\vec{u}$

On obtient ainsi le symétrique A'

1.	Former le plan E E contient le point A et est perpendiculaire à la droite g : Vecteur normal : $\vec{n}=\vec{u}$ Point de référence : A
2.	Forme le point d'intersection de E et g
3.	Forme la droite h : vecteur directeur : $\vec{AL}$ Point de référence A
4.	Calcul le paramètre $t_s$ du point d'intersection de E et g