L’optimisation linéaire vise à maximiser ou minimiser la valeur d’une fonction affine (fonction cible). Le domaine de définition et l’ensemble d’arrivée sont limités par des contraintes données.
Attention : On parle d’optimisation «linéaire» mais les fonctions utilisées sont bien affines.
Notions
FONCTION CIBLE
Fonction affine à deux variables dont la valeur doit être maximisée:
z(x,y)=dx+ey
CONTRAINTES
Inéquations, qui restreignent le domaine de définition et l’ensemble d’arrivée.
ax+by≤c⋯
Solution d’un problème d’optimisation linéaire
Pour la résolution d’un problème d’optimisation linéaire, on utilise un système de coordonnées.
MÉTHODE
1.
Pour chaque inéquation, isoled’un côté.
Attention : Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on doit inverser le signe de relation.
2.
Représente les inéquations sous forme de fonctions affines dans le système de coordonnées.
3.
Marque les zones de solution individuelles. Pour les équations avec :
y≥ ety>: Marque la zone au-dessus de la droite.
y≤ ety<: Marque la zone en dessous de la droite.
4.
Marque clairement l’intersection de toutes les zones de solution individuelles.
5.
Choisis une valeur arbitraire de la fonction cible :
Remplacezpar la valeur choisie dans l’équation de la fonctionz(x,y)=dx+ey.
Ceci définit une fonction affiney=f(x).
6.
Trouve les intersections de la fonctionf(x)avec les axes :
Définisx=0et calculeyOrdonnée à l’origine
Définisy=0et calculexIntersection de l’axe desx
Dessine la fonction cible arbitraire en utilisant les points d’intersection avec les axes.
7.
Détermine le point optimal :
Prends la parallèle qui atteint le point le plus haut (maximum) ou le plus bas (minimum) de la zone de solution.
8.
Introduis les coordonnées de ce point dans la fonction cible générale et calcule la valeur optimale de la fonction cible.
Exemple
Fonction cible :z(x,y)=y+2x
Contraintes :
x−2y≤2
y−2x≤1
x+y≤2
Transforme et dessine les contraintes :
y≥0.5x−1
y≤2x+1
y≤−x+2
Valeur arbitraire :z=y+2x
2=y+2x
Fonction définie:
y=2−2x
Points d’intersection des axes :
y=2−2⋅0→y=20=2−2x→x=1
Dessine la parallèle au maximum :
Maximum: point enx=2et y=0
Calcule la valeur maximale dez:
z(2,0)=0+2⋅2=4
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Optimisation linéaire
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Qu'est-ce qu'une contrainte ?
Inéquations, qui restreignent le domaine de définition et l’ensemble d’arrivée : ax+by≤c.
Qu'est-ce que la fonction cible ?
Fonction affine à deux variables dont la valeur doit être maximisée : z(x,y)=dx+ey.
Qu'est-ce que l'optimisation linéaire ?
L’optimisation linéaire vise à maximiser ou minimiser la valeur d’une fonction affine (fonction cible). Le domaine de définition et l’ensemble d’arrivée sont limités par des contraintes données.
