Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Définition

Dans un problème d’optimisation, on recherche le minimum ou le maximum d'une quantité :

• Profit-maximum
  
• Coût-minimum
  
• Superficie-maximum
  
• Volume-maximum
  
• Etc.
  

Souvent, on doit décrire la quantité à l’aide d’une fonction et calculer le maximum ou le minimum de cette fonction.

Résoudre un problème d’optimisation

Les exercices sur les problèmes d’optimisation sont très différents. La méthode suivante peut être utile pour de nombreux exercices. 

MÉTHODE

Exemple

Une clôture doit être érigée en rectangle. Elle fait 100m de long et la zone clôturée doit être maximale. Quelle largeur $$L$$​ et quelle longueur $$l$$​ doit avoir le rectangle ?

Fonction cible : Surface

$$S=L\cdot l$$​​

Contrainte : périmètre $$=100\ m$$​ :

$$100=2L+2l$$​​

Résous en $$l$$​ :

$$l=50-L$$​​

Combine avec la fonction :

$$S\left(l\right)=L\cdot\left(50-L\right)=50L-L^2$$​​

Détermine le maximum :

Dérivées :

$$S^\prime\left(l\right)=50-2L\\S''\left(l\right)=-2$$​​

Résous $$f^\prime\left(x\right)=0$$​ :

$$0=50-2L\\L=25$$​​

Regarde $$f^{\prime\prime}$$​ :

$$S''\left(25\right)=-2<0,\ Maximum$$​​

Le rectangle ayant la plus grande surface mesure 25 m de long et 25 m de large.

Fonctions cibles typiques