Problèmes d'optimisation et fonctions cibles typiques

Définition

Dans un problème d’optimisation, on recherche le minimum ou le maximum d'une quantité :

Profit-maximum
Coût-minimum
Superficie-maximum
Volume-maximum
Etc.

Souvent, on doit décrire la quantité à l’aide d’une fonction et calculer le maximum ou le minimum de cette fonction.

Résoudre un problème d’optimisation

Les exercices sur les problèmes d’optimisation sont très différents. La méthode suivante peut être utile pour de nombreux exercices.

MÉTHODE

1.

Lis le texte et souligne toutes les informations importantes : la valeur cible, les inconnues et les contraintes.

2.

Décris la valeur cible à l’aide d’une fonction (fonction cible).

Conseil : Souvent, la fonction dépend de deux inconnues.

3.

En utilisant les contraintes, décris les relations entre les inconnues sous forme

d’équations.

4.

Combine les équations avec la fonction cible pour qu'il ne reste qu'une seule inconnue.

5.

Détermine le maximum respectivement le minimum de la fonction :

Calcule la dérivée première et résous l’équation : $f^\prime\left(x\right)=0$
Regarde la dérivée seconde :

$f''\left(x\right)<0$	Maximum
$f''\left(x\right)>0$	Minimum
$f''\left(x\right)=0$	Ni maximum ni minimum

6.

Si nécessaire, vérifie les limites des inconnues.

7.

Détermine la valeur recherchée.

Exemple

Une clôture doit être érigée en rectangle. Elle fait 100m de long et la zone clôturée doit être maximale. Quelle largeur $L$ et quelle longueur $l$ doit avoir le rectangle ?

Fonction cible : Surface

$S=L\cdot l$ 

Contrainte : périmètre $=100\ m$ :

$100=2L+2l$ 

Résous en $l$ :

$l=50-L$ 

Combine avec la fonction :

$S\left(l\right)=L\cdot\left(50-L\right)=50L-L^2$ 

Détermine le maximum :

Dérivées :

$S^\prime\left(l\right)=50-2L\\S''\left(l\right)=-2$ 

Résous $f^\prime\left(x\right)=0$ :

$0=50-2L\\L=25$ 

Regarde $f^{\prime\prime}$ :

$S''\left(25\right)=-2<0,\ Maximum$ 

Le rectangle ayant la plus grande surface mesure 25 m de long et 25 m de large.

Fonctions cibles typiques

PROFIT

$=Revenu-Dépenses$

SUPERFICIE

Rectangle $=largeur\cdot longueur$

Triangle $=base\cdot hauteur∶2$

Triangle rectangle $=cathète\cdot cathète∶2$

Cercle $=\pi\cdot{rayon}^2$

VOLUME

Parallélépipède rectangle $=largeur\cdot longueur\cdot hauteur$

Pyramide $=largeur\cdot longueur\cdot hauteur∶3$

Cylindre $=\pi\cdot{rayon}^2\cdot hauteur$

Cône $=\pi\cdot{rayon}^2\cdot hauteur∶3$