Spezialfälle der Zinsrechnung berechnen

Verändernde Zinssätze

Oftmals gibt es Aufgaben, bei denen die Zinssätze über die Anlagedauer variieren. Das Vorgehen bei diesem Aufgabentyp wird im Folgenden aufgezeigt.

Berechnung des Endkapitals und der durchschnittlichen Verzinsung

Berechnung des Endkapitals und der durchschnittlichen Verzinsung bei gegebenem Anfangskapital und zwei Anlagedauern mit unterschiedlichen Zinssätzen.

VORGEHEN

1.	Unterteile den Sachverhalt chronologisch: Periode 1 zum Zinssatz $p_1,$ Periode 2 zu Zinssatz $p_2$ .
2.	Berechne den Zinsfaktor $q$ jeweils für die erste und die zweite Periode: $q=1+\frac{p}{100\%}$
Endkapital:
3.	Berechne das Endkapital für die erste Periode: $K_n=K_0{\cdot q_1}^n$
4.	Das Endkapital der ersten Periode entspricht dem Anfangskapital der zweiten Periode. Berechne das Endkapital für die zweite Periode: $K_n=K_0{\cdot q_2}^n$
Durchschnittlicher Zinssatz:
5.	Setze das Endkapital der zweiten Periode, das Anfangskapital und die gesamte Anlagedauer in die Zinseszinsformel ein und löse nach der durchschnittlichen Verzinsung: $p=\left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1\right)\cdot100\%$

Beispiel - Ein Kapital von CHF 9’000 wurde für insgesamt 10 Jahre angelegt. Während den ersten 3 Jahren betrug der Zins 4%, während der restlichen Anlagedauer 3%. Wie hoch ist das Kapital nach 10 Jahren und die durchschnittliche Verzinsung?

Unterteilung in Perioden:

$Periode\ 1: 3\ Jahre zu p_1=4\%\\Periode\ 2: 7\ Jahre zu p_2=3\%$

$q$ berechnen:

$Periode\ 1: q_1=1+\frac{4\%}{100\%}=1.04\\Periode\ 2: q_2=1+\frac{3\%}{100\%}=1.03$

Endkapital der ersten Periode:

$K_3=9\ 000\cdot{1.04}^3\approx10'123.8$

Endkapital der zweiten Periode:

$K_7=10'123.8\cdot{1.03}^7\approx\underline{{12}^\prime450.95}$

Durchschnittliche Verzinsung:

$p=\left(\sqrt[10]{\frac{12\prime450.95}{9\ 000}}-1\right)\cdot100\approx\underline{3.3\%}$

Kapitalbewegung

Kapitalbewegungen verändern die Höhe des angelegten Kapitals während der Anlageperiode.

Endkapital bestimmen

Bei Kapitalbewegungen bestimmt man Verzinsung zwischen den einzelnen Kapitalbewegungen. Das Anfangskapital wird mit jeder weiteren Kapitalbewegung neu bestimmt.

Mathematik; Zinsrechnung; BMS; Spezialfälle der Zinsrechnung berechnen

VORGEHEN

1.	Unterteile den Sachverhalt in Perioden anhand der einzelnen Kapitalbewegungen.
2.	Berechne den Zinsfaktor $q$ für jede Periode: $q=1+\frac{p}{100\%}$
3.	Berechne das Endkapital für die erste Periode: $K_n=K_0{\cdot q}^n$
4.	Bestimme das Anfangskapital der zweiten Periode: Addiere oder subtrahiere die erste Kapitalbewegung zum Endkapital der ersten Periode. Berechne das Endkapital für die zweite Periode.
5.	Wiederhole den vierten Schritt für jede Perode.

Beispiel - Ein Kapital von CHF 6’000 wurde zu einem Zinssatz von 6% angelegt. Nach 5 Jahren wurden weitere CHF 6’000 eingezahlt und 2 Jahre später CHF 7’000 abgehoben. Wie hoch ist das Kapital nach 8 Jahren?

Unterteilung des Sachverhalts:

Mathematik; Zinsrechnung; BMS; Spezialfälle der Zinsrechnung berechnen

Zinsfaktor (gleich für alle Perioden):

$q=1+\frac{6\%}{100\%}=1.06$

Endkapital für erste Periode (nach 5 Jahren):

$K_5=6\ 000\cdot{1.06}^5\approx8^\prime029.35$

Endkapital für zweite Periode (nach 7 Jahren):

$K_2=\left(8^\prime029.35+6\ 000\right)\cdot{1.06}^2\approx15'763.40$

Endkapital für dritte Periode (nach 8 Jahren):

$K_1=\left(15'763.40-7\ 000\right)\cdot1.06\approx\underline{9^\prime289.20}$