Exponentialgleichungen lösen

Wichtiges in Kürze

Eine Exponentialgleichung setzt zwei Terme mit Potenzen gleich. Die Lösungsvariable x, deren Wert man berechnen will, steht dabei im Exponenten. Um x bei der Gleichung alleine zu stellen, muss man den Logarithmus anwenden.

Tipp: Wiederhole die Rechenregeln von Logarithmen.

Beispiel

$$3^{x+1}={3\cdot5}^2$$​​

Exponentialgleichung lösen

Vorgehen

Beispiel

$$2^x+2^{x+1}=24$$​​

Gleiche Potenzen bilden. Hier $$2^x$$​:

$$2^x+2\cdot2^x=24$$​​

Gleichung vereinfachen:

$$\begin{aligned}3\cdot2^x&=24\\2^x&=8\end{aligned}$$​​

Logarithmus:

​$${log}_{10}{\left(2^x\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}\\x\cdot{log}_{10}{\left(2\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}$$​​

Auflösen nach $$x$$:

​$$x=\frac{{log}_{10}{\left(8\right)}}{{log}_{10}{\left(2\right)}}\\x=3$$​​

Hinweis: Kommt nur eine Basis vor, so kann man direkt die Exponenten vergleichen:

 $$2^x=8\\2^x=2^3\\x=3$$​