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Exponentialgleichungen lösen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Exponentialgleichungen lösen

Wichtiges in Kürze

Eine Exponentialgleichung setzt zwei Terme mit Potenzen gleich. Die Lösungsvariable x, deren Wert man berechnen will, steht dabei im Exponenten. Um x bei der Gleichung alleine zu stellen, muss man den Logarithmus anwenden.


Tipp: Wiederhole die Rechenregeln von Logarithmen.


Beispiel

3x+1=3523^{x+1}={3\cdot5}^2​​



Exponentialgleichung lösen

Vorgehen

1.

Löse alle Additionen und Subtraktionen von Potenzen mit xx​ auf.

Tipp: Bilde gleiche Potenzen und fasse sie dann zusammen: 5x+5x+1=5x+515x=65x5^x+5^{x+1}=5^x+5^1\cdot5^x=6\cdot5^x

2.

Bilde den Logarithmus ((log10())({log}_{10}{\left(\ldots\right)}) ) über beide Seiten der Gleichung.

Hinweis: Man kann eine beliebige Logarithmusbasis wählen, z.B. auch die Basis der vorkommenden Potenzen.

3.

Stelle das xx vor den log.log.

4.

Löse nach xx​ auf.


Beispiel

2x+2x+1=242^x+2^{x+1}=24​​

Gleiche Potenzen bilden. Hier 2x2^x​:

2x+22x=242^x+2\cdot2^x=24​​

Gleichung vereinfachen:

32x=242x=8\begin{aligned}3\cdot2^x&=24\\2^x&=8\end{aligned}​​

Logarithmus:

log10(2x)=log10(8)xlog10(2)=log10(8){log}_{10}{\left(2^x\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}\\x\cdot{log}_{10}{\left(2\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}​​


Auflösen nach xx:

x=log10(8)log10(2)x=3x=\frac{{log}_{10}{\left(8\right)}}{{log}_{10}{\left(2\right)}}\\x=3​​



Hinweis: Kommt nur eine Basis vor, so kann man direkt die Exponenten vergleichen:

 2x=82x=23x=32^x=8\\2^x=2^3\\x=3






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FAQs – Frequently Asked Questions

Wie löst man eine Exponentialgleich auf?