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Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Exponentialgleichungen lösen

Wichtiges in Kürze

Eine Exponentialgleichung setzt zwei Terme mit Potenzen gleich. Die Lösungsvariable x, deren Wert man berechnen will, steht dabei im Exponenten. Um x bei der Gleichung alleine zu stellen, muss man den Logarithmus anwenden.

Tipp: Wiederhole die Rechenregeln von Logarithmen.

Beispiel

$3^{x+1}={3\cdot5}^2$

Exponentialgleichung lösen

Vorgehen

1.	Löse alle Additionen und Subtraktionen von Potenzen mit $x$ auf. Tipp: Bilde gleiche Potenzen und fasse sie dann zusammen: $5^x+5^{x+1}=5^x+5^1\cdot5^x=6\cdot5^x$
2.	Bilde den Logarithmus ( $({log}_{10}{\left(\ldots\right)})$ ) über beide Seiten der Gleichung. Hinweis: Man kann eine beliebige Logarithmusbasis wählen, z.B. auch die Basis der vorkommenden Potenzen.
3.	Stelle das $x$ vor den $log.$
4.	Löse nach $x$ auf.

Beispiel

$2^x+2^{x+1}=24$

Gleiche Potenzen bilden. Hier $2^x$ :

$2^x+2\cdot2^x=24$

Gleichung vereinfachen:

$\begin{aligned}3\cdot2^x&=24\\2^x&=8\end{aligned}$

Logarithmus:

${log}_{10}{\left(2^x\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}\\x\cdot{log}_{10}{\left(2\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}$

Auflösen nach $x$ :

$x=\frac{{log}_{10}{\left(8\right)}}{{log}_{10}{\left(2\right)}}\\x=3$

Hinweis: Kommt nur eine Basis vor, so kann man direkt die Exponenten vergleichen:

$2^x=8\\2^x=2^3\\x=3$ 

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Teil 2

Potenz berechnen & Potenzgesetze

Teil 3

Logarithmus: Definition, Sonderfälle & Gesetze

Abkürzung

Optional

Teil 4