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Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Definition

Eine Grösse, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird, soll maximiert oder minimiert werden.



Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems

Das Maximum bzw. das Minimum der Funktion wird durch den Scheitelpunkt beschrieben.


VORGEHEN

1.

Bestimme die quadratische Funktion. 

Tipp: Scheitelpunkt (und Punkt) gegeben  Scheitelpunktformel verwenden.

Drei Punkte gegeben: Funktion durch ein Gleichungssystem bestimmen.

2.

Forme die quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform um.

3.

Lese die Koordinaten des Scheitelpunkts ab.

Diese Werte optimieren die quadratische Gleichung und sind somit die Lösung der Aufgabenstellung.

4.

Beantworte die Aufgabenstellung.


Beispiel

Der Umfang eines Rechtecks ist 24cm. Bestimme die Seitenlängen a und b, sodass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.


Funktionsgleichung:

Seitenlängen:

a und ba\ und\ ba und b​​

Umfang:

​24=2a+2b24=2a+2b24=2a+2b​ umgeformt: ​b=12−ab=12-ab=12−a​​

Flächeninhalt:

​f=a⋅bf=a\cdot bf=a⋅b​ einsetzen: ​f(a)=a(12−a)f\left(a\right)=a(12-a)f(a)=a(12−a)​​


Scheitelpunktform bestimmen:

f(a)=a(12−a)f(a)=−a2+12af(a)=−(a2−12a)f(a)=−(a−6)2+36f(a) = a(12-a)\\f(a) = -a^2+12a\\f(a) = -(a^2-12a)\\f(a) = -{(a-6)}^2+36f(a)=a(12−a)f(a)=−a2+12af(a)=−(a2−12a)f(a)=−(a−6)2+36​​


Scheitelpunkt ablesen: 

S(6|36)=(a|fmax)S\left(6\middle|36\right)=\left(a\middle| f_{max}\right)S(6∣36)=(a∣fmax​)​​

Seitenlänge:

a=6 cm,b=6 cma=6\ cm, b=6\ cma=6 cm,b=6 cm​ 



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Beispiel für die quadratische Optimierung?

Der Umfang eines Rechtecks ist gegeben und Du sollst die Seitenlängen finden, die den Flächeninhalt maximieren.

Wie wird eine Aufgabe mit der quadratischen Optimierung gelöst?

Das Maximum bzw. das Minimum der Funktion wird durch den Scheitelpunkt beschrieben. Quadratische Gleichung in Scheitelpunktform umwandeln und danach die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen.

Was ist eine quadratische Optimierung?

Eine Grösse, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird, soll maximiert oder minimiert werden.

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