Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen
Definition
Eine Grösse, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird, soll maximiert oder minimiert werden.
Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems
Das Maximum bzw. das Minimum der Funktion wird durch den Scheitelpunkt beschrieben.
VORGEHEN
1. | Bestimme die quadratische Funktion. Tipp: Scheitelpunkt (und Punkt) gegeben Scheitelpunktformel verwenden. Drei Punkte gegeben: Funktion durch ein Gleichungssystem bestimmen. |
2. | Forme die quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform um. |
3. | Lese die Koordinaten des Scheitelpunkts ab. Diese Werte optimieren die quadratische Gleichung und sind somit die Lösung der Aufgabenstellung. |
4. | Beantworte die Aufgabenstellung. |
Beispiel
Der Umfang eines Rechtecks ist 24cm. Bestimme die Seitenlängen a und b, sodass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.
Funktionsgleichung:
Seitenlängen:
a und b
Umfang:
24=2a+2b umgeformt: b=12−a
Flächeninhalt:
f=a⋅b einsetzen: f(a)=a(12−a)
Scheitelpunktform bestimmen:
f(a)=a(12−a)f(a)=−a2+12af(a)=−(a2−12a)f(a)=−(a−6)2+36
Scheitelpunkt ablesen:
S(6∣36)=(a∣fmax)
Seitenlänge:
a=6 cm,b=6 cm