Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Definition

Eine Grösse, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird, soll maximiert oder minimiert werden.

Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems

Das Maximum bzw. das Minimum der Funktion wird durch den Scheitelpunkt beschrieben.

VORGEHEN

Beispiel

Der Umfang eines Rechtecks ist 24cm. Bestimme die Seitenlängen a und b, sodass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Funktionsgleichung:

Seitenlängen:

$$a\ und\ b$$​​

Umfang:

​$$24=2a+2b$$​ umgeformt: ​$$b=12-a$$​​

Flächeninhalt:

​$$f=a\cdot b$$​ einsetzen: ​$$f\left(a\right)=a(12-a)$$​​

Scheitelpunktform bestimmen:

$$f(a) = a(12-a)\\f(a) = -a^2+12a\\f(a) = -(a^2-12a)\\f(a) = -{(a-6)}^2+36$$​​

Scheitelpunkt ablesen: 

$$S\left(6\middle|36\right)=\left(a\middle| f_{max}\right)$$​​

Seitenlänge:

$$a=6\ cm, b=6\ cm$$​