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Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Die pq-Formel nennt man auch die «Mitternachtsformel». Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen.



Lösung der Standardform

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0​:

x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}x1,2​=−2p​±(2p​)2−q​​​



Diskriminante

Die Diskriminante D=(p2)2−qD=\left(\frac{p}{2}\right)^2-qD=(2p​)2−q​ ist der Term unter der Wurzel der pq-Formel.


EIGENSCHAFTEN

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

  • D>0:D>0: D>0: Zwei Lösungen x1x_1x1​​​ und x2x_2x2​.
  • D=0:D=0: D=0:​ Eine Lösung x=x1=x2x=x_1=x_2x=x1​=x2​​.
  • D<0:D<0:D<0:​  Keine Lösung.


​

Gleichung lösen mit der pq-Formel

VORGEHEN

1.

Bilde eine Nullgleichung.

2.

Stelle die Normalform auf: x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0​

Hinweis: Hat x2x^2 x2​ noch einen Faktor, so teile die ganze Gleichung durch diesen.

3.

Wende die pq-Formel an und berechne die Lösungen 

x1=−p2+(p2)2−qx_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}x1​=−2p​+(2p​)2−q​​ und x2=−p2−(p2)2−qx_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}x2​=−2p​−(2p​)2−q​​​

Tipp: Beachte die Vorzeichen von ​ppp​ und qqq​


Beispiel

​x−6=−x2x-6=-x^2x−6=−x2​​


Nullgleichung:

x2+x−6=0x^2+x-6=0x2+x−6=0​​


pq-Formel:

 p=1,q=−6 p=1, q=-6p=1,q=−6​

x1=−12+(12)2+6x_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+6}x1​=−21​+(21​)2+6​​ und x2=−12−(12)2+6x_2=-\frac{1}{2}-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+6}x2​=−21​−(21​)2+6​​


Zwei Lösungen:

 x1=2x_1=2x1​=2​ und x2=−3x_2=-3x2​=−3​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die pq-Formel?

Die pq-Formel nennt man auch die "Mitternachtsformel". Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen.

Was ist die Diskriminante in der pq-Formel?

Die Diskriminante "D" ist der Term unter der Wurzel der pq-Formel.

Welche Eigenschaft hat die Diskriminante in der pq-Formel?

1. Diskriminante "D>0" : Zwei Lösungen 2. Diskriminante "D=0" : Eine Lösung 3. Diskriminante "D<0" : Keine Lösungen

Wie wird eine Gleichung mit der pq-Formel gelöst?

1. Bilde eine Nullgleichung 2. Stelle die Normalform auf: x^2+px+q=0 3. Wende die pq-Formel an und berechne die Lösungen (Vorzeichen beachten)

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