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Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Die pq-Formel nennt man auch die «Mitternachtsformel». Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen.



Lösung der Standardform

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform x2+px+q=0x^2+px+q=0:

x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}​​



Diskriminante

Die Diskriminante D=(p2)2qD=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q ist der Term unter der Wurzel der pq-Formel.


EIGENSCHAFTEN

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

  • D>0:D>0:  Zwei Lösungen x1x_1​​ und x2x_2.
  • D=0:D=0: ​ Eine Lösung x=x1=x2x=x_1=x_2.
  • D<0:D<0: Keine Lösung.



Gleichung lösen mit der pq-Formel

VORGEHEN

1.

Bilde eine Nullgleichung.

2.

Stelle die Normalform auf: x2+px+q=0x^2+px+q=0

HinweisHat x2x^2  noch einen Faktor, so teile die ganze Gleichung durch diesen.

3.

Wende die pq-Formel an und berechne die Lösungen 

x1=p2+(p2)2qx_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}​ und x2=p2(p2)2qx_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}​​

Tipp: Beachte die Vorzeichen von ​pp und qq


Beispiel

x6=x2x-6=-x^2​​


Nullgleichung:

x2+x6=0x^2+x-6=0​​


pq-Formel:

 p=1,q=6 p=1, q=-6

x1=12+(12)2+6x_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+6}​ und x2=12(12)2+6x_2=-\frac{1}{2}-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+6}


Zwei Lösungen:

 x1=2x_1=2​ und x2=3x_2=-3​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die pq-Formel?

Was ist die Diskriminante in der pq-Formel?

Welche Eigenschaft hat die Diskriminante in der pq-Formel?

Wie wird eine Gleichung mit der pq-Formel gelöst?

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