Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Die pq-Formel nennt man auch die «Mitternachtsformel». Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen.

Lösung der Standardform

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform $$x^2+px+q=0$$​:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$​​

Diskriminante

Die Diskriminante $$D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$$​ ist der Term unter der Wurzel der pq-Formel.

EIGENSCHAFTEN

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

• $$D>0:$$ Zwei Lösungen $$x_1$$​​ und $$x_2$$.
• $$D=0:$$​ Eine Lösung $$x=x_1=x_2$$​.
• $$D<0:$$​  Keine Lösung.

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Gleichung lösen mit der pq-Formel

VORGEHEN

Beispiel

​$$x-6=-x^2$$​​

Nullgleichung:

$$x^2+x-6=0$$​​

pq-Formel:

 $$p=1, q=-6$$​

$$x_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+6}$$​ und $$x_2=-\frac{1}{2}-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+6}$$​

Zwei Lösungen:

 $$x_1=2$$​ und $$x_2=-3$$​​