Potenzterme vereinfachen: Rechenregeln

Potenzgesetze Wiederholung

Beim Vereinfachen ist es wichtig, alle Potenzgesetze gut zu kennen.

Multiplikation

Voraussetzung: Gleiche Basis

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Exponenten addieren.

$3^4\cdot 3^2=3^{4+2}=3^6$

Division

Voraussetzung: Gleiche Basis

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Exponenten subtrahieren.

$\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2$

Doppelter Exponent

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Exponenten multiplizieren.

$(6^2)^3=6^{2\cdot 3}=6^6$

Klammer mit

Punkt-Rechnung

$(ab)^m =a^m\cdot b^m\\(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$

Exponenten an jede Basis setzen.

$(3\cdot 5)^2 =3^2\cdot 5^2\\(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2}$

Negative Exponenten

$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$

Minus setzt Basis in den Nenner.

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Wurzel

(rationale Exponenten)

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Wurzel als Bruch im Exponenten.

$\sqrt[5]{3^2}=3^{\frac{2}{5}}$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Potenzterme vereinfachen

Vorgehen

1.

Alle Wurzeln als Exponent ausdrücken.

2.

Alle Klammern auflösen (von aussen nach innen): $(ab)^m=a^m\cdot b^m$ und $(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}$

3.

Zahlen und Variablen kürzen.

4.

Gleiche Variablen zusammenrechnen:

Punktrechnung:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Strichrechnung:
Addieren/Subtrahieren geht nur mit der gleichen Basis und dem gleichen Exponenten.

Beispiel

$\frac{4\cdot \sqrt{a^-3}}{(2a^{-\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{a^3})^3}$

Alle Wurzeln als Exponent ausdrücken:

$\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{(2a^{-\frac{3}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}})^3}$

Klammern auflösen:

$\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{3}{2} \cdot 3} \cdot a^{\frac{3}{2}\cdot 3}}=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{8a^{-\frac{9}{2}} \cdot a^{\frac{9}{2}}}$

Zahlen zusammenrechnen und kürzen:

$=\frac{a^{- \frac{3}{2}-(-\frac{9}{2})-\frac{9}{2}}}{2}=\frac{1}{2}a^{-\frac{3}{2}}$